傅里叶级数、一维傅里叶变换到二维傅里叶变换数理推导

参考资料：
如何理解傅里叶级数公式
二重傅里叶级数
从傅里叶级数到傅里叶变换
高维傅里叶变换的推导
连续傅里叶变换和离散傅里叶变换
二维离散傅里叶变换
IDL实现傅里叶变换

想要用傅里叶变换的思维处理一个时序数据，将时序信息转换为参数信息，实现降维的目的。大致了解了一下傅里叶级数，如何从傅里叶级数转到傅里叶变换以及一维傅里叶变换和二维傅里叶变换的过渡，傅里叶变换的求解，快速傅里叶变换等知识。
傅里叶变换是一种从时域信息转为频域信息的手段，可以理解为从不同的角度来观察一个事物，例如总是被用来举例的听到的钢琴曲和乐谱，就是一个是时域一个频域，但是无论是时间维度听到的钢琴声还是频域维度看到的乐谱，他俩实质上描述的东西是一样的。

傅里叶级数

首先是傅里叶级数的概念以及这个概念被提出来的初衷。
最早，数学家发现某些周期函数可以由三角函数的和来表示，后来又有人猜测任意周期函数都可以写为三角函数之和。只需要三角函数之和函数满足以下几点：1）有常数项；2）同时包含奇函数和偶函数来组合出任意函数；3）周期与原函数周期相同，为T;4)可以调整振幅来逼近原函数（也就是系数项）。
构造出来的三角函数之和函数大致如下：

接下来的重点是如何来确定参数：

在确定参量的时候，引入欧拉公式：

最终得到的系数表达式为：

具体的函数构造以及求解原理可以参照博客如何理解傅里叶级数公式。

傅里叶变换

傅立叶级数是基于周期函数的，如果我们把周期推广到无穷，那么也就变为了非周期函数，这就是傅立叶变换。

一维傅里叶变换到二维傅里叶变换

对于傅里叶变换从一维到二维的扩展，主要参照知乎的一个回答
类比于一维傅里叶变换将一个函数分解成若干个一维的简单函数（正弦波）之和，二维傅里叶变换将一个图像分解成若干个正弦平面波之和。如下图：

二维离散傅里叶变换
二维离散傅里叶变换DFT可分离性的基本思想是DFT可分离为两次一维DFT。因此可以用通过计算两次一维的FFT来得到二维快速傅里叶FFT算法。根据快速傅里叶变换的计算要求，需要图像的行数、列数均满足2的n次方，如果不满足，在计算FFT之前先要对图像补零以满足2的n次。
一个M行N列的二维图像f(x,y)，先按行队列变量y做一次长度为N的一维离散傅里叶变换，再将计算结果按列向对变量x做一次长度为M傅里叶变换就可以得到该图像的傅里叶变换结果，如式所示：

将上式分解开来就是如下的两部分，先得到F(x,v),再由F(x,v)得到F(u,v)：

每一行由N个点，对每一行的一维N点序列进行离散傅里叶变换得到F(x,u),再对得到F(x,u)按列向对每一列做M点的离散傅里叶变换，就可以得到二维图像f(x,y)的离散傅里叶变换F(u,v).

同样，做傅里叶逆变换时，先对列向做一维傅里叶逆变换，再对行做一维逆傅里叶变换，如下式所示：