【数学建模笔记 22】数学建模的模糊数学模型

定义

模糊数学就是用数学方法研究与处理模糊现象的数学。

现实的数学模型可以分为三大类：

确定性数学模型：模型背景具有确定性，对象之间具有必然关系；
随机性数学模型：模型背景具有随机性和偶然性。
模糊性模型：模型背景具有模糊性。

被讨论的对象全体称论域，用 U,VU,VU,V 等表示。

对于论域 UUU 的每个元素和某一子集 AAA，在经典数学中，要么 x∈Ax\in Ax∈A，要么 x∉Ax\notin Ax∈/A。

在模糊数学中，称没有明确边界的集合为模糊集合，元素属于模糊集合的程度用隶属度表示，计算隶属度的函数称隶属函数。

论域 UUU 到 [0,1][0,1][0,1] 闭区间上的任意映射
M:U→[0,1],u→M(u),M:U\to[0,1],u\to M(u), M:U→[0,1],u→M(u),
都确定了 UUU 上的一个模糊集合，M(u)M(u)M(u) 称隶属函数，记 M={(u,M(u)∣u∈U}M=\{(u,M(u)|u\in U\}M={(u,M(u)∣u∈U}，使得 M(u)=0.5M(u)=0.5M(u)=0.5 的点称过渡点，最具模糊性。

指派法

指派法是一种主观方法，依据人们的实践经验确定隶属函数。一些常用分布如：

矩阵型
M(x)={1,a≤x≤b,0,x<aorx>b.M(x)=\left\{\begin{aligned} &1,a\le x\le b,\\ &0,x<a\ or\ x>b. \end{aligned}\right. M(x)={1,a≤x≤b,0,x<a or x>b.
梯形型
M(x)={x−ab−a,a≤x≤b,1,b<x≤c,d−xd−c,c<x≤d,0,x<aorx>d.M(x)=\left\{\begin{aligned} &\frac{x-a}{b-a},a\le x\le b,\\ &1,b<x\le c,\\ &\frac{d-x}{d-c},c<x\le d,\\ &0,x<a\ or\ x>d. \end{aligned}\right. M(x)=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧b−ax−a,a≤x≤b,1,b<x≤c,d−cd−x,c<x≤d,0,x<a or x>d.
k 次抛物型
M(x)={(x−ab−a)k,a≤x≤b,1,b<x≤c,(d−xd−c)k,c<x≤d,0,x<aorx>d.M(x)=\left\{\begin{aligned} &(\frac{x-a}{b-a})^k,a\le x\le b,\\ &1,b<x\le c,\\ &(\frac{d-x}{d-c})^k,c<x\le d,\\ &0,x<a\ or\ x>d. \end{aligned}\right. M(x)=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧(b−ax−a)k,a≤x≤b,1,b<x≤c,(d−cd−x)k,c<x≤d,0,x<a or x>d.
Γ\GammaΓ 型
M(x)={ek(x−a),x<a,1,a≤x≤b,e−k(x−b),x>b.M(x)=\left\{\begin{aligned} & e^{k(x-a)},x<a,\\ & 1,a\le x\le b,\\ & e^{-k(x-b)},x>b.\\ \end{aligned}\right. M(x)=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ek(x−a),x<a,1,a≤x≤b,e−k(x−b),x>b.
正态型
M(x)=exp[−(x−aσ)2]M(x)=exp[-(\frac{x-a}{\sigma})^2] M(x)=exp[−(σx−a)2]

模糊矩阵

设 U={x1,x2,…,xm},V={y1,y2,…,yn}U=\{x_1,x_2,\dots,x_m\},V=\{y_1,y_2,\dots,y_n\}U={x1,x2,…,xm},V={y1,y2,…,yn}，RRR 为从 UUU 到 VVV 的模糊关系，隶属函数为 μR(x,y)\mu_R(x,y)μR(x,y)，对任意 (xi,yj)∈U×V(x_i,y_j)\in U\times V(xi,yj)∈U×V，有
μR(xi,yj)=rij∈[0,1],\mu_R(x_i,y_j)=r_{ij}\in[0,1], μR(xi,yj)=rij∈[0,1],
记 R=(rij)m×nR=(r_{ij})_{m\times n}R=(rij)m×n 为模糊矩阵。

模糊模型识别

最大隶属度原则

设 Ai∈F(U),i=1,2,…,nA_i\in F(U),i=1,2,\dots,nAi∈F(U),i=1,2,…,n，对 u0∈Uu_0\in Uu0∈U，若存在 i0i_0i0，使
Ai0(u0)=max⁡{A1(u0),A2(u0),…,An(u0)},A_{i0}(u_0)=\max\{A_1(u_0),A_2(u_0),\dots,A_n(u_0)\}, Ai0(u0)=max{A1(u0),A2(u0),…,An(u0)},
则认为 u0u_0u0 相对隶属于 AiA_iAi。

例子

考虑人的年龄问题，分年轻、中年、老年三类，对应三个模糊集 A1,A2,A3A_1,A_2,A_3A1,A2,A3，设论域 U=(0,100]U=(0,100]U=(0,100]，且对 x∈(0,100]x\in(0,100]x∈(0,100] 有
A1(x)={1,0<x≤20,1−2(x−2020)2,20<x≤30,2(x−4020)2,30<x≤40,0,40<x≤100.A_1(x)=\left\{\begin{aligned} &1,0<x\le20,\\ &1-2(\frac{x-20}{20})^2,20<x\le30,\\ &2(\frac{x-40}{20})^2,30<x\le40,\\ &0,40<x\le100. \end{aligned}\right. A1(x)=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧1,0<x≤20,1−2(20x−20)2,20<x≤30,2(20x−40)2,30<x≤40,0,40<x≤100.

A3(x)={1,0<x≤50,2(x−5020)2,50<x≤60,1−2(x−7020)2,60<x≤70,1,70<x≤100.A_3(x)=\left\{\begin{aligned} &1,0<x\le50,\\ &2(\frac{x-50}{20})^2,50<x\le60,\\ &1-2(\frac{x-70}{20})^2,60<x\le70,\\ &1,70<x\le100. \end{aligned}\right. A3(x)=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧1,0<x≤50,2(20x−50)2,50<x≤60,1−2(20x−70)2,60<x≤70,1,70<x≤100.

A2(x)=1−A1(x)−A3(x).A_2(x)=1-A_1(x)-A_3(x). A2(x)=1−A1(x)−A3(x).

若某人 35 岁，代入得
A1(35)=0.125,A2(35)=0.875,A3(35)=0,A_1(35)=0.125,A_2(35)=0.875,A_3(35)=0, A1(35)=0.125,A2(35)=0.875,A3(35)=0,
可见 35 岁属于中年。

择近原则

设 Ai,B∈F(U)A_i,B\in F(U)Ai,B∈F(U)，若存在 i0i_0i0 使
N(Ai0,B)=max⁡{N(A1,B),N(A2,B),…,N(An,B)}N(A_{i0},B)=\max\{N(A_1,B),N(A_2,B),\dots,N(A_n,B)\} N(Ai0,B)=max{N(A1,B),N(A2,B),…,N(An,B)}
则认为 BBB 与 Ai0A_{i0}Ai0 最贴近，判定为一类。其中 N(A,B)N(A,B)N(A,B) 表示 A,BA,BA,B 的贴进度。

贴近度

贴进度是对两个模糊集接近程度的度量。

海明贴近度

若 U={u1,u2,…,un}U=\{u_1,u_2,\dots,u_n\}U={u1,u2,…,un}，则
N(A,B)Δ=1−1n∑i=1n∣A(ui)−B(ui)∣,N(A,B)\underset{=}{\Delta}1-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n|A(u_i)-B(u_i)|, N(A,B)=Δ1−n1i=1∑n∣A(ui)−B(ui)∣,
若 U=[a,b]U=[a,b]U=[a,b]，则
N(A,B)Δ=1−1b−a∫ab∣A(u)−B(u)∣du.N(A,B)\underset{=}{\Delta}1-\frac{1}{b-a}\int_a^b|A(u)-B(u)|du. N(A,B)=Δ1−b−a1∫ab∣A(u)−B(u)∣du.

欧几里得贴近度

若 U={u1,u2,…,un}U=\{u_1,u_2,\dots,u_n\}U={u1,u2,…,un}，则
N(A,B)Δ=1−1n(∑i=1n∣A(ui)−B(ui)∣)1/2,N(A,B)\underset{=}{\Delta}1-\frac{1}{\sqrt{n}}(\sum_{i=1}^n|A(u_i)-B(u_i)|)^{1/2}, N(A,B)=Δ1−n1(i=1∑n∣A(ui)−B(ui)∣)1/2,
若 U=[a,b]U=[a,b]U=[a,b]，则
N(A,B)Δ=1−1b−a(∫ab∣A(u)−B(u)∣du)1/2.N(A,B)\underset{=}{\Delta}1-\frac{1}{\sqrt{b-a}}(\int_a^b|A(u)-B(u)|du)^{1/2}. N(A,B)=Δ1−b−a1(∫ab∣A(u)−B(u)∣du)1/2.

黎曼贴近度

若 U=(−∞,+∞)U=(-\infty,+\infty)U=(−∞,+∞)，则
N1(A,B)Δ=∫−∞+∞(A(u)∧B(u))du(A(u)∨B(u))du,N_1(A,B)\underset{=}{\Delta}\frac{\int_{-\infty}^{+\infty}(A(u)\wedge B(u))du}{(A(u)\vee B(u))du}, N1(A,B)=Δ(A(u)∨B(u))du∫−∞+∞(A(u)∧B(u))du,

N2(A,B)Δ=2∫−∞+∞(A(u)∧B(u))du∫−∞+∞A(u)du+∫−∞+∞B(u)du.N_2(A,B)\underset{=}{\Delta}\frac{2\int_{-\infty}^{+\infty}(A(u)\wedge B(u))du}{\int_{-\infty}^{+\infty}A(u)du+\int_{-\infty}^{+\infty}B(u)du}. N2(A,B)=Δ∫−∞+∞A(u)du+∫−∞+∞B(u)du2∫−∞+∞(A(u)∧B(u))du.

例子

设集合 A1=(0.4,0.3,0.5,0.3)A_1=(0.4,0.3,0.5,0.3)A1=(0.4,0.3,0.5,0.3),A2=(0.3,0.3,0.4,0.4)A_2=(0.3,0.3,0.4,0.4)A2=(0.3,0.3,0.4,0.4),B=(0.2,0.3,0.4),0.3B=(0.2,0.3,0.4),0.3B=(0.2,0.3,0.4),0.3，确定 BBB 属于哪一类。

由欧几里得贴近度有
N(B,A1)=0.8882,N(B,A2)=0.9293,N(B,A3)=0.95,N(B,A_1)=0.8882,N(B,A_2)=0.9293,N(B,A_3)=0.95, N(B,A1)=0.8882,N(B,A2)=0.9293,N(B,A3)=0.95,
因此 BBB 属于 A3A_3A3 类。

模糊聚类

构造模糊矩阵

设全体为论域 U={u1,u2,…,un}U=\{u_1,u_2,\dots,u_n\}U={u1,u2,…,un}，对象 uiu_iui 的特性由 mmm 个指标表示，记 ai=[ai1,ai2,…,aim]a_i=[a_{i1},a_{i2},\dots,a_{im}]ai=[ai1,ai2,…,aim]，得
A=(aij)n×m,A=(a_{ij})n\times m, A=(aij)n×m,
如果需要，作标准化处理得
B=(bij)n×m.B=(b_{ij})n\times m. B=(bij)n×m.
计算 ui,uju_i,u_jui,uj 的模糊相似系数，构造模糊相似矩阵
R=(rij)n×n.R=(r_{ij})_{n\times n}. R=(rij)n×n.
计算模糊相似系数的方法有：

夹角余弦法
rij=∑k=1mbikbjk∑k=1mbik2∑k=1mbjk2.r_{ij}=\frac{\sum_{k=1}^mb_{ik}b_{jk}}{\sqrt{\sum_{k=1}^mb_{ik}^2}\sqrt{\sum_{k=1}^mb_{jk}^2}}. rij=∑k=1mbik2∑k=1mbjk2∑k=1mbikbjk.
相关系数法
rij=∑k=1m∣bik−b‾i∣∣bjk−b‾j∣∑k=1m(bik−b‾i)2∑k=1m(bjk−b‾j)2.r_{ij}=\frac{\sum_{k=1}^m|b_{ik}-\overline{b}_i||b_{jk}-\overline{b}_j|}{\sqrt{\sum_{k=1}^m(b_{ik}-\overline{b}_i)^2}\sqrt{\sum_{k=1}^m(b_{jk}-\overline{b}_j)^2}}. rij=∑k=1m(bik−bi)2∑k=1m(bjk−bj)2∑k=1m∣bik−bi∣∣bjk−bj∣.
距离法
rij=1−c(d(ui,uj))α,r_{ij}=1-c(d(u_i,u_j))^\alpha, rij=1−c(d(ui,uj))α,
选取适当 c,αc,\alphac,α 使 0≤rij≤10\le r_{ij}\le10≤rij≤1，并选取适当距离公式 d(ui,uj)d(u_i,u_j)d(ui,uj)。
最大最小法
rij=∑k=1mmin⁡(bik,bjk)∑k=1mmax⁡(bik,bjk)r_{ij}=\frac{\sum_{k=1}^m\min(b_{ik},b_{jk})}{\sum_{k=1}^m\max(b_{ik},b_{jk})} rij=∑k=1mmax(bik,bjk)∑k=1mmin(bik,bjk)
算术平均最小法
rij=∑k=1mmin⁡(bik,bjk)12∑k=1m(bik+bjk)r_{ij}=\frac{\sum_{k=1}^m\min(b_{ik},b_{jk})}{\frac12\sum_{k=1}^m(b_{ik}+b_{jk})} rij=21∑k=1m(bik+bjk)∑k=1mmin(bik,bjk)
几何平均最小法
rij=∑k=1mmin⁡(bik,bjk)∑k=1mbikbjkr_{ij}=\frac{\sum_{k=1}^m\min(b_{ik},b_{jk})}{\sum_{k=1}^m\sqrt{b_{ik}b_{jk}}} rij=∑k=1mbikbjk∑k=1mmin(bik,bjk)

构造模糊等价矩阵

构造得到的 RRR 一般只满足自反性和对称性，采用平方法求出 RRR 的传递闭包 t(R)t(R)t(R)。

对于矩阵 Rn×nR_{n\times n}Rn×n，计算
R2=R∘R=(rij2)R^2=R\circ R=(r_{ij}^2) R2=R∘R=(rij2)
其中
rij2=max⁡k{min⁡{rik,rkj}},r_{ij}^2=\max_k\{\min\{r_{ik},r_{kj}\}\}, rij2=kmax{min{rik,rkj}},

k=1,2,…,n.k=1,2,\dots,n. k=1,2,…,n.

迭代计算 R→R2→⋯→R2i→…R\to R^2\to\dots\to R^{2^i}\to\dotsR→R2→⋯→R2i→…，

直到出现 Rk∘Rk=RkR_k\circ R_k=R_kRk∘Rk=Rk，即有 t(R)=Rkt(R)=R^kt(R)=Rk。

聚类

对于 t(R)t(R)t(R) 的每个元素 trijtr_{ij}trij，取不同阈值 λ\lambdaλ 时，若 KaTeX parse error: Undefined control sequence: \tr at position 1: \̲t̲r̲_{ij}\ge\lambda，认为 ui,uju_i,u_jui,uj 属于一类，反之不属于一类，从而画出聚类图。

例子

有五个类 I=(5,5,3,2)I=(5,5,3,2)I=(5,5,3,2)，II=(2,3,4,5)II=(2,3,4,5)II=(2,3,4,5)，III=(5,5,2,3)III=(5,5,2,3)III=(5,5,2,3)，IV=(1,5,3,1)IV=(1,5,3,1)IV=(1,5,3,1)，V=(2,4,5,1)V=(2,4,5,1)V=(2,4,5,1)。

使用距离法求相似系数
rij=1−0.1∑k=14∣aik−ajk∣,r_{ij}=1-0.1\sum_{k=1}^4|a_{ik}-a_{jk}|, rij=1−0.1k=1∑4∣aik−ajk∣,
得相似矩阵
R=(10.10.80.50.30.110.10.20.40.80.110.30.10.50.20.310.60.30.40.10.61),R=\begin{pmatrix} 1&0.1&0.8&0.5&0.3\\ 0.1&1&0.1&0.2&0.4\\ 0.8&0.1&1&0.3&0.1\\ 0.5&0.2&0.3&1&0.6\\ 0.3&0.4&0.1&0.6&1 \end{pmatrix}, R=⎝⎜⎜⎜⎜⎛10.10.80.50.30.110.10.20.40.80.110.30.10.50.20.310.60.30.40.10.61⎠⎟⎟⎟⎟⎞,
平方法求传递闭包得
t(R)=(10.40.80.50.50.410.40.40.40.80.410.50.50.50.40.510.60.50.40.50.61)t(R)=\begin{pmatrix} 1&0.4&0.8&0.5&0.5\\ 0.4&1&0.4&0.4&0.4\\ 0.8&0.4&1&0.5&0.5\\ 0.5&0.4&0.5&1&0.6\\ 0.5&0.4&0.5&0.6&1 \end{pmatrix} t(R)=⎝⎜⎜⎜⎜⎛10.40.80.50.50.410.40.40.40.80.410.50.50.50.40.510.60.50.40.50.61⎠⎟⎟⎟⎟⎞
于是有：

0≤λ≤0.4,{I,II,III,IV,V}0\le\lambda\le0.4,\{I,II,III,IV,V\}0≤λ≤0.4,{I,II,III,IV,V}；
0.4<λ≤0.5,{I,III,IV,V},{II}0.4<\lambda\le0.5,\{I,III,IV,V\},\{II\}0.4<λ≤0.5,{I,III,IV,V},{II}；
0.5<λ≤0.6,{I,III},{IV,V},{II}0.5<\lambda\le0.6,\{I,III\},\{IV,V\},\{II\}0.5<λ≤0.6,{I,III},{IV,V},{II}；
0.6<λ≤0.8,{I,III},{II},{IV},{V}0.6<\lambda\le0.8,\{I,III\},\{II\},\{IV\},\{V\}0.6<λ≤0.8,{I,III},{II},{IV},{V}；
0.8<λ,{I},{II},{III},{IV},{V}0.8<\lambda,\{I\},\{II\},\{III\},\{IV\},\{V\}0.8<λ,{I},{II},{III},{IV},{V}。

模糊综合评价

确定指标集 I={x1,x2,…,xp}I=\{x_1,x_2,\dots,x_p\}I={x1,x2,…,xp} 和权重向量 W=(w1,w2,…,wp)W=(w_1,w_2,\dots,w_p)W=(w1,w2,…,wp)；
建立评语集 V={v1,v2,…,vs}V=\{v_1,v_2,\dots,v_s\}V={v1,v2,…,vs}；
建立评价向量，获得评价矩阵 R=(rij)p×sR=(r_{ij})_{p\times s}R=(rij)p×s；
合成模糊综合评价结果向量，得到结果向量 AAA

W∘R=(a1,a2,…,as)=ΔA.W\circ R=(a_1,a_2,\dots,a_s)\overset{\Delta}{=}A. W∘R=(a1,a2,…,as)=ΔA.

对于 ∘\circ∘ 算子，通常有以下 4 种：

M(∧,∨)M(\wedge,\vee)M(∧,∨)
ak=max⁡j{min⁡(wj,rjk)},a_k=\max_j\{\min(w_j,r_{jk})\}, ak=jmax{min(wj,rjk)},
M(⋅,∨)M(\cdot,\vee)M(⋅,∨)
bk=max⁡j{wj⋅rjk},b_k=\max_j\{w_j\cdot r_{jk}\}, bk=jmax{wj⋅rjk},
M(∧,+)M(\wedge,+)M(∧,+)
bk=∑jmin⁡(wj,rjk),b_k=\sum_{j}\min(w_j,r_{jk}), bk=j∑min(wj,rjk),
M(⋅,+)M(\cdot,+)M(⋅,+)
bk=sumj=1pwjrjk.b_k=sum_{j=1}^pw_jr_{jk}. bk=sumj=1pwjrjk.

Python 代码

模糊聚类

对模糊聚类中的例子求解并画聚类图，代码如下：

#! /usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-
# @ author: Koorye
# @ date: 2021-7-29
# @ function: 模糊聚类# %%import numpy as np
import pandas as pd
from scipy.cluster.hierarchy import dendrogram, linkage# %%# 距离公式
def dist(x, y):return np.sum(np.abs(x - y))# 源数据
A = np.array([[5, 5, 3, 2],[2, 3, 4, 5],[5, 5, 2, 3],[1, 5, 3, 1],[2, 4, 5, 1]])# 构造相似模糊矩阵
num = len(A)
R = np.zeros((num, num))
for i in range(len(A)):for j in range(len(A)):R[i, j] = 1 - .1 * dist(A[i, :], A[j, :])
print('R =\n',R)# %%# 平方法求传递闭包
def tr(R):R2 = R.copy()for row in range(len(R)):for col in range(len(R)):r_list = []for i in range(len(R)):r_list.append(np.min([R[row, i], R[i, col]]))R2[row, col] = np.max(r_list)return R2R_old = R
R = tr(R)
while np.sum(np.abs(R-R_old)) > 1e-4:R_old = RR = tr(R)
print('t(R) =\n', R)# %%# 画聚类图
R2 = np.triu(1-R, 1)
R2 = R2[R2!=0]
Z = linkage(R2)
dendrogram(Z, labels=['I','II','III','IV','V'])

输出如下：

R =[[1.  0.1 0.8 0.5 0.3][0.1 1.  0.1 0.2 0.4][0.8 0.1 1.  0.3 0.1][0.5 0.2 0.3 1.  0.6][0.3 0.4 0.1 0.6 1. ]]
t(R) =[[1.  0.4 0.8 0.5 0.5][0.4 1.  0.4 0.4 0.4][0.8 0.4 1.  0.5 0.5][0.5 0.4 0.5 1.  0.6][0.5 0.4 0.5 0.6 1. ]]