代数数论基本知识

同余定理

定理内容：给定一个模正整数m，如果两个整数a和b满足（a-b）能够被m整除，即（a-b）/m得到一个整数，那么就称整数a与b对模m同余，记作a≡b(modm)a \equiv b(mod\,m)a≡b(modm)
例：
（1）a=5，b=2，m=3，（a-b）/m为整数1，那么a对m取余和b对m取余都一样为2。称5与2对3同余。
（2）a=97，b=37，m=20，（a-b）/m为整数3，那么a对m取余和b对m取余都一样为17。称97与37对20同余。

费马小定理

定理内容：如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，则有ap−1≡1(modp)a^{p-1}\equiv1(mod \,p)ap−1≡1(modp) 。(这里的 ≡ 指的是恒等于，ap−1≡1(modp)a^{p-1}\equiv1(mod \,p)ap−1≡1(modp) 是指a的p-1次幂取模与1取模恒等)
例：
（1）取p=3，a=4，则ap−1=43−1=16a^{p-1}=4^{3-1}=16ap−1=43−1=16，16对3取余为1。
（2）取p=7，a=10，则ap−1=107−1=1000000a^{p-1}=10^{7-1}=1000000ap−1=107−1=1000000，1000000对7取余为1。

算数基本定理

定理内容：任何大于1的自然数N，都可以唯一分解成有限个素数乘积，记为
N=p1a1p2a2⋅⋅⋅pkak=∏i=1kpiaiN=p_1^{a_1}p_2^{a_2}···p_k^{a_k}= \prod_{i=1}^k p_i^{a_i} N=p1a1p2a2⋅⋅⋅pkak=i=1∏kpiai
其中pip_ipi为素数，aia_iai为正整数。
例：
（1）N=35，则N=57。
（2）N=14535，则N=33517*19。

欧拉函数

定理内容：给定一个整数n，计算不大于n且与n互素的正整数，这些正整数集合记为Zn∗Z_n^*Zn∗，即
Zn∗={z∣z∈Z,0≤z<n,gcd(z,n)=1}Z_n^*=\{z|z\in Z,0\leq z<n,gcd(z,n)=1\} Zn∗={z∣z∈Z,0≤z<n,gcd(z,n)=1}
这些正整数的个数记为ϕ(n)=∣Zn∗∣\phi(n)=|Z_n^*|ϕ(n)=∣Zn∗∣.
其中gcd(z,n)表示z和n的最大公约数。
例：
（1）n=12，Zn∗={1,5,7,11}n=12，Z_n^*=\{ 1,5,7,11\}n=12，Zn∗={1,5,7,11}，ϕ(n)=4\phi(n)=4ϕ(n)=4
（2）n=20，Zn∗={1,3,7,9,11,13,17,19}n=20，Z_n^*=\{ 1,3,7,9,11,13,17,19\}n=20，Zn∗={1,3,7,9,11,13,17,19}，ϕ(n)=8\phi(n)=8ϕ(n)=8

二项式定理

定理内容：描述二项式幂的代数展开式根据这个定理，可以将任意的x+y的非负次幂展开为以下形式：
(x+y)n=(0n)xny0+(1n)xn−1y1+⋅⋅⋅⋅⋅+(n−1n)x1yn−1+(nn)x0yn=∑k=0n(kn)xn−kyk(x+y)^n=(^n_0)x^ny^0+(^n_1)x^{n-1}y^1+·····+(^n_{n-1})x^{1}y^{n-1}+(^n_{n})x^{0}y^{n}=\sum_{k=0}^n (^n_{k})x^{n-k}y^{k} (x+y)n=(0n)xny0+(1n)xn−1y1+⋅⋅⋅⋅⋅+(n−1n)x1yn−1+(nn)x0yn=k=0∑n(kn)xn−kyk
例：(x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4(x+y)^4=x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy3+y^4(x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4

欧拉定理

定理内容：若n,a为正整数,且n,a互素，则以下关系成立：
aϕ(n)≡1(modn)a^{\phi(n)}\equiv1(mod\,n) aϕ(n)≡1(modn)
例：
（1）n=20,a=3,则ϕ(n)=8,aϕ(n)=38=6561=1(modn)n=20,a=3,则\phi(n)=8,a^{\phi(n)}=3^8=6561=1(mod\,n)n=20,a=3,则ϕ(n)=8,aϕ(n)=38=6561=1(modn)
（2）n=12,a=5,则ϕ(n)=4,aϕ(n)=54=625=1(modn)n=12,a=5,则\phi(n)=4,a^{\phi(n)}=5^4=625=1(mod\,n)n=12,a=5,则ϕ(n)=4,aϕ(n)=54=625=1(modn)

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