11自由度非线性整车动力学模型微分方程介绍(汽车悬架、制动和转向三大子系统耦合)

一.整车微分方程简介 [ 1 ] ^{\left[1\right]} [1]

a.整车纵向刚体动力学微分方程
∑ F x = M t a x \sum F_x=M_ta_x ∑Fx=Mtax ∑ F x = − ( F x f l + F x f r ) cos ⁡ δ − ( F y f l + F y f r ) sin ⁡ δ − F x r l − F x r r \sum\ F_x=-\left(F_{xfl}+F_{xfr}\right)\cos{\delta}-\left(F_{yfl}+F_{yfr}\right)\sin{\delta}-F_{xrl}-F_{xrr} ∑ Fx=−(Fxfl+Fxfr)cosδ−(Fyfl+Fyfr)sinδ−Fxrl−Fxrr其中 a x = x ¨ − y ˙ ψ ˙ + z ˙ θ ˙ a_x=\ddot{x}-\dot{y}\dot{\psi}+\dot{z}\dot{\theta} ax=x¨−y˙ψ˙+z˙θ˙
b.整车横向刚体动力学微分方程
∑ F y = M t a y \sum\ F_y=M_ta_y ∑ Fy=Mtay Σ F y = − ( F x f l + F x f r ) sin ⁡ δ + ( F y f l + F y f r ) cos ⁡ δ + F y r l + F y r r \mathrm{\Sigma}F_y=-\left(F_{xfl}+F_{xfr}\right)\sin{\delta}+\left(F_{yfl}+F_{yfr}\right)\cos{\delta}+F_{yrl}+F_{yrr} ΣFy=−(Fxfl+Fxfr)sinδ+(Fyfl+Fyfr)cosδ+Fyrl+Fyrr其中 a y = y ˙ − z ˙ ρ ˙ + x ˙ ψ ˙ a_y=\dot{y}-\dot{z}\dot{\rho}+\dot{x}\dot{\psi} ay=y˙−z˙ρ˙+x˙ψ˙
c.簧载质量垂直动力学微分方程
∑ F z = M b a z \sum\ F_z=M_ba_z ∑ Fz=Mbaz ∑ F z = S z f l + S z f r + S z r l + S z r r \sum\ F_z=S_{zfl}+S_{zfr}+S_{zrl}+S_{zrr} ∑ Fz=Szfl+Szfr+Szrl+Szrr其中 a z = z ¨ + y ˙ p ˙ − x ˙ θ ˙ a_z=\ddot{z}+\dot{y}\dot{p}-\dot{x}\dot{\theta} az=z¨+y˙p˙−x˙θ˙
S z f l = − k s f l ( z + c f ρ − a θ − q f l ) − c s f l ( z ˙ + c f ρ ˙ − a θ ˙ − q ˙ f l ) + F M R f l S_{zfl}=-k_{sfl}\left(z+c_f\rho-a\theta-q_{fl}\right)-c_{sfl}\left(\dot{z}+c_f\dot{\rho}-a\dot{\theta}-{\dot{q}}_{fl}\right)+F_{MRfl} Szfl=−ksfl(z+cfρ−aθ−qfl)−csfl(z˙+cfρ˙−aθ˙−q˙fl)+FMRfl S z f r = − k s f r ( z − c f ρ − a θ − q f r ) − c s f r ( z ˙ − c f ρ ˙ − a θ ˙ − q ˙ f r ) + F M R f r S_{zfr}=-k_{sfr}\left(z-c_f\rho-a\theta-q_{fr}\right)-c_{sfr}\left(\dot{z}-c_f\dot{\rho}-a\dot{\theta}-{\dot{q}}_{fr}\right)+F_{MRfr} Szfr=−ksfr(z−cfρ−aθ−qfr)−csfr(z˙−cfρ˙−aθ˙−q˙fr)+FMRfr S z r l = − k s r l ( z + c r ρ + a θ − q r l ) − c s r l ( z ˙ + c r ρ ˙ + a θ ˙ − q ˙ r l ) + F M R r l S_{zrl}=-k_{srl}\left(z+c_r\rho+a\theta-q_{rl}\right)-c_{srl}\left(\dot{z}+c_r\dot{\rho}+a\dot{\theta}-{\dot{q}}_{rl}\right)+F_{MRrl} Szrl=−ksrl(z+crρ+aθ−qrl)−csrl(z˙+crρ˙+aθ˙−q˙rl)+FMRrl S z r r = − k s r r ( z − c r ρ + a θ − q r r ) − c s r r ( z ˙ − c r ρ ˙ + a θ ˙ − q ˙ r r ) + F M R r r S_{zrr}=-k_{srr}\left(z-c_r\rho+a\theta-q_{rr}\right)-c_{srr}\left(\dot{z}-c_r\dot{\rho}+a\dot{\theta}-{\dot{q}}_{rr}\right)+F_{MRrr} Szrr=−ksrr(z−crρ+aθ−qrr)−csrr(z˙−crρ˙+aθ˙−q˙rr)+FMRrrd.簧载质量侧倾动力学微分方程
∑ M x = I x ρ ¨ \sum\ M_x=I_x\ddot{\rho} ∑ Mx=Ixρ¨ ∑ M x = ∑ M x z + ∑ M x t + ∑ M x g \sum\ M_x={\sum M}_{xz}+\sum\ M_{xt}+\sum\ M_{xg} ∑ Mx=∑Mxz+∑ Mxt+∑ Mxg ∑ M x z = C f ( S z f l − S z f r ) + C r ( S z r l − S z r r ) \sum\ M_{xz}=C_f\left(S_{zfl}-S_{zfr}\right)+C_r\left(S_{zrl}-S_{zrr}\right) ∑ Mxz=Cf(Szfl−Szfr)+Cr(Szrl−Szrr) ∑ M x t = h c [ − ( F x f l + F x f r ) sin ⁡ δ + ( F y f l + F y f r ) cos ⁡ δ + F y r l + F y r r ] \sum\ M_{xt}=h_c\left[-\left(F_{xfl}+F_{xfr}\right)\sin{\delta}+\left(F_{yfl}+F_{yfr}\right)\cos{\delta}+F_{yrl}+F_{yrr}\right] ∑ Mxt=hc[−(Fxfl+Fxfr)sinδ+(Fyfl+Fyfr)cosδ+Fyrl+Fyrr] ∑ M x g = M b g h d s i n ρ \sum\ M_{xg}=M_bgh_dsin{\rho} ∑ Mxg=Mbghdsinρ其中， ∑ M x z \sum\ M_{xz} ∑ Mxz为垂向悬架力产生的侧倾力矩； ∑ M x t \sum\ M_{xt} ∑ Mxt为车轮力产生的侧倾力矩； ∑ M x g \sum\ M_{xg} ∑ Mxg为重力产生的侧倾力矩；
e.簧载质量俯仰动力学微分方程
∑ M y = I y θ ¨ \sum\ M_y=I_y\ddot{\theta} ∑ My=Iyθ¨ ∑ M y = ∑ M y z + ∑ M y t + ∑ M y g \sum\ M_y=\sum\ M_{yz}+∑Myt+∑Myg ∑ My=∑ Myz+∑Myt+∑Myg ∑ M y z = − a ( S z f l + S z f r ) + b ( S z r l + S z r r ) \sum\ M_{yz}=-a\left(S_{zfl}+S_{zfr}\right)+b\left(S_{zrl}+S_{zrr}\right) ∑ Myz=−a(Szfl+Szfr)+b(Szrl+Szrr) ∑ M y t = h p [ ( F x f l + F x f r ) cos ⁡ δ + ( F y f l + F y f r ) sin ⁡ δ + F x r l + F x r r ] \sum\ M_{yt}=h_p\left[\left(F_{xfl}+F_{xfr}\right)\cos{\delta}+\left(F_{yfl}+F_{yfr}\right)\sin{\delta}+F_{xrl}+F_{xrr}\right] ∑ Myt=hp[(Fxfl+Fxfr)cosδ+(Fyfl+Fyfr)sinδ+Fxrl+Fxrr] ∑ M y g = M b g h d s i n θ \sum\ M_{yg}=M_bgh_dsin{\theta} ∑ Myg=Mbghdsinθ其中， ∑ M y z \sum\ M_{yz} ∑ Myz为垂向悬架力产生的俯仰力矩； ∑ M y t \sum\ M_{yt} ∑ Myt为车轮力产生的俯仰力矩； ∑ M y g \sum\ M_{yg} ∑ Myg为重力产生的俯仰力矩；
f.整车横摆刚体动力学模型
∑ M z = I z ψ ¨ \sum\ M_z=I_z\ddot{\psi} ∑ Mz=Izψ¨ ∑ M z = ∑ M z t l + ∑ M z t s \sum\ M_z=\sum\ M_{ztl}+\sum\ M_{zts} ∑ Mz=∑ Mztl+∑ Mzts ∑ M z t l = c f [ ( F x f l − F x f r ) cos ⁡ δ + ( F y f l − F y f r ) sin ⁡ δ + C r ( F x r l − F x r r ) ] \sum\ M_{ztl}=c_f\left[\left(F_{xfl}-F_{xfr}\right)\cos{\delta}+\left(F_{yfl}-F_{yfr}\right)\sin{\delta}+C_r(F_{xrl}-F_{xrr})\right] ∑ Mztl=cf[(Fxfl−Fxfr)cosδ+(Fyfl−Fyfr)sinδ+Cr(Fxrl−Fxrr)] ∑ M z t s = a [ − ( F x f l + F x f r ) sin ⁡ δ + ( F y f l + F y f r ) cos ⁡ δ + b ( F y r l + F y r r ) ] \sum\ M_{zts}=a[-\left(F_{xfl}+F_{xfr}\right)\sin{\delta}+\left(F_{yfl}+F_{yfr}\right)\cos{\delta}+b\left(F_{yrl}+F_{yrr}\right)] ∑ Mzts=a[−(Fxfl+Fxfr)sinδ+(Fyfl+Fyfr)cosδ+b(Fyrl+Fyrr)]其中， ∑ M z t l \sum M_{ztl} ∑Mztl为车轮纵向力产生的横摆力矩； ∑ M z t s \sum M_{zts} ∑Mzts为车轮侧向力产生的横摆力矩；
g.车轮旋转动力学模型
I w i j ω ˙ i j = F x i j R i − T b i j I_{wij}{\dot{\omega}}_{ij}=F_{xij}R_i-T_{bij} Iwijω˙ij=FxijRi−Tbij式中 R i R_i Ri为车轮有效滚动半径。i=f，r分别代表前轮和后轮，j=l，r分别表示左轮和右轮。上述式中各轮胎力由上一节轮胎力学模型得到，但纵横向力分别为垂直载荷及车轮滑移率和侧偏角的函数:
①垂直载荷主要由两部分组成，及静态载荷和动态载荷
F z i j = S z i j + F z 0 i j F_{zij}=S_{zij}+F_{z0ij} Fzij=Szij+Fz0ij其中 S z i j ( i = f , r ; j = l , r ) S_{zij}(i=f,r;j=l,r) Szij(i=f,r;j=l,r)为悬架作用力，在不考虑轮胎刚度阻尼特性时，亦为车轮垂向动态载荷; F z 0 i j ( i = f , r ; j = l , r ) \ F_{z0ij}(i=f,r;j=l,r) Fz0ij(i=f,r;j=l,r)为各车轮垂直静态载荷：
F z 0 f l = F z 0 f r = M t g b / [ 2 x ( a + b ) ] F_{z0fl}=F_{z0fr}=M_tgb/\left[2x\left(a+b\right)\right] Fz0fl=Fz0fr=Mtgb/[2x(a+b)] F z 0 r l = F z 0 r r = M t g a / [ 2 x ( a + b ) ] F_{z0rl}=F_{z0rr}=M_tga/\left[2x\left(a+b\right)\right] Fz0rl=Fz0rr=Mtga/[2x(a+b)]②轮胎侧偏角，定义为车轮速度与车轮中心平面间的夹角。如图5.15所示为单个车轮侧偏角度示意图，可通过 β = a r c t a n ( y ˙ / x ˙ ) \beta=\ {arctan{\left(\dot{y}\right.}}/{\dot{x}}) β= arctan(y˙/x˙)
α = a r c t a n ( v y ′ / v x ′ ) \alpha=arctan{\left(v_{y^\prime}/v_{x^\prime}\right)} α=arctan(vy′/vx′)，根据图5.12中各轮胎速度分量间的关系，各轮胎侧偏角可进一步表示为：
α f l = δ − a r c t a n y ˙ + a ψ ˙ x ˙ + c f ψ ˙ ， α f r = δ − arctan ⁡ y ˙ + a ψ ˙ x ˙ − c f ψ ˙ \alpha_{fl}=\delta-arctan{\frac{\dot{y}+a\dot{\psi}}{\dot{x}+c_f\dot{\psi}}}，\alpha_{fr}=\delta-\arctan{\frac{\dot{y}+a\dot{\psi}}{\dot{x}-c_f\dot{\psi}}} αfl=δ−arctanx˙+cfψ˙y˙+aψ˙，αfr=δ−arctanx˙−cfψ˙y˙+aψ˙ α r l = − a r c t a n y ˙ − b ψ ˙ x ˙ + c r ψ ˙ ， α r r = − arctan ⁡ y ˙ − b ψ ˙ x ˙ − c r ψ ˙ \alpha_{rl}=-arctan{\frac{\dot{y}-b\dot{\psi}}{\dot{x}+c_r\dot{\psi}}}，\alpha_{rr}=-\arctan{\frac{\dot{y}-b\dot{\psi}}{\dot{x}-c_r\dot{\psi}}} αrl=−arctanx˙+crψ˙y˙−bψ˙，αrr=−arctanx˙−crψ˙y˙−bψ˙③质心侧偏角，在车轮转角不是很大时，质心侧偏角可近似表示为;
β = a r c t a n ( y ˙ / x ˙ ) \beta = \ {arctan{\left(\dot{y}\right.}}/{\dot{x}}) β= arctan(y˙/x˙)本文为参考学习，公式内容均引用于卢少波博士论文

二.参考文献

[1] 卢少波. 汽车底盘关键子系统及其综合控制策略研究[D].重庆大学,2009.