文章目录

引子
Why Taylor Series
函数$cos(x)$的近似
- 二阶近似
- 二阶近似$\cos(x)$总结
- 增加阶数近似
继续延伸
- 泰勒多项式
- 对任意函数近似
泰勒级数的几何意义
其他级数
- 几何级数
- 几何级数积分
- 二项式定理
引用
英语

引子

求解摆球的高度，蓝色线处为最低点

cos⁡θ\cos\thetacosθ函数在这里显得很难求解，而且，

但当你采用近似的时候，问题就简单多了

当把约等于号左右两边的式子在图像上画出来后会发现，至少在θ=0\theta=0θ=0附近，两者的图像确实十分接近

那么上式中的二次级数是如何出现的呢？该怎样近似呢？

Why Taylor Series

学习泰勒级数，很大程度上就是为了在某个点附近用多项式函数，去近似其他函数。原因在于多项式比其他函数处理起来要容易的多。多项式函数计算容易，易于求导和积分

函数cos(x)cos(x)cos(x)的近似

二阶近似

现在先让我们看一看，在x=0x=0x=0处，如何使用二次多项式来近似cos⁡(x)\cos(x)cos(x)

设P(x)=c0+c1x+c2x2P(x)=c_0+c_1x+c_2x^2P(x)=c0+c1x+c2x2，若随意选择多项式前的系数，以保证cos⁡(x)=P(x)\cos(x)=P(x)cos(x)=P(x) ，那么这些系数该是多少呢？

先将x=0x=0x=0分别代入cos⁡(x)和P(x)\cos(x)和P(x)cos(x)和P(x)，假定两式相等，则可求得c0=1c_0=1c0=1

而当x=0x=0x=0代入cos⁡(x)\cos(x)cos(x)和P(x)P(x)P(x)，计算得到c0=1c_0=1c0=1后，c1和c2c_1和c_2c1和c2的值可以随意选取而对等式没有影响，因为x=0x=0x=0带入P(x)P(x)P(x)后直接将后面两项的值变成0

如果可以保证当x=0x=0x=0时，cos⁡(x)和P(x)\cos(x)和P(x)cos(x)和P(x)不仅函数值相等，斜率也相等的话，那样岂不是更加精确么？否则，稍微偏离一点x=0x=0x=0，二者的函数值就会有很大偏差，那么该怎么求呢？——求导，计算斜率：

这里常数c1c_1c1掌握着我们在x=0x=0x=0处对一阶导数（斜率）的近似，所以让c1=0c_1=0c1=0，那么我们的近似函数P(x)P(x)P(x)的导数也变成了0

c0c_0c0保证了P(x)P(x)P(x)和cos⁡(x)\cos(x)cos(x)在x=0x=0x=0处的值近似相等，

c1c_1c1保证了二者在x=0x=0x=0处的斜率近似相等，

而剩下的c2c_2c2可以保证cos⁡(x)\cos(x)cos(x)和P(x)P(x)P(x)函数的斜率的增长率近似相等，也可以说是曲线的曲率近似相等。

下面我们计算c2c_2c2，核心在于求解cos⁡(x)\cos(x)cos(x)和P(x)P(x)P(x)的二阶导数：

计算得到c2=−12c_2=-\frac{1}{2}c2=−21。下面我们验证一下P(x)P(x)P(x)对cos⁡(x)\cos(x)cos(x)的近似效果如何：

二阶近似cos⁡(x)\cos(x)cos(x)总结

这样一来，当你利用这三个给定的系数，让xxx的取值在000附近增减时，你近似函数的函数值的变化率（也就是斜率）和近似变化率的变化率（也就是曲率）就可以让P(x)P(x)P(x)尽可能的接近cos⁡(x)\cos(x)cos(x)函数本身了。

增加阶数近似

我们也可以多添加几项高次项使得P(x)P(x)P(x)对cos⁡(x)\cos(x)cos(x)函数的近似更精准。比如三次项：

求得c3=0c_3=0c3=0，因此P(x)=1−1/2x2P(x)=1-1/2x^2P(x)=1−1/2x2，不仅仅是cos⁡(x)\cos(x)cos(x)在x=0x=0x=0处最佳的二阶近似函数，同时也是最佳的三阶近似函数。

还可以给P(x)P(x)P(x)增加一个四次项，这样在x=0x=0x=0处，P(x)P(x)P(x)的图像就更加接近cos⁡(x)\cos(x)cos(x)的图像了

因此，当我们求解这个物理问题时，牵扯到求一个很小的角度的cos⁡(x)\cos(x)cos(x)值时候，我们用多项式去近似，求解的cos⁡(x)\cos(x)cos(x)值基本上丝毫不差了。

继续延伸

阶乘的形式是自然而然出现的。你对xnx^nxn连续取n次求导，多项式求导法则一层套一层，最后就会剩下一个为1∗2∗3∗∗...=n!1*2*3**...=n!1∗2∗3∗∗...=n!的常数。所以近似多项式中，第n项的系数并不是高阶导数本身，你需要再除以n个阶乘，来抵消这个效应。
其次，当我们往近似多项式中添加更高次项时，低阶的项并不会因此而改变。因此多项式任意n阶的导数在x=0x=0x=0的值都由唯一的一个系数控制

如果你想用多项式估计一个非零点附近的结果，比如x=πx=\pix=π，那么你换成使用P(x)P(x)P(x)关于（x−π（x-\pi（x−π）而不是xxx的多项式就可以得到相同的效果。

在一点处的各阶导数值的信息，转化成那一点附近函数值的信息

知道了cos⁡(x)\cos(x)cos(x)的所有高阶导数，其实也就了解了关于cos⁡(x)\cos(x)cos(x)的许多信息，即便你只关注在x=0x=0x=0一个取值

泰勒多项式

经过几个步骤的处理之后，我们得到的P(x)P(x)P(x)多项式，叫做cos⁡(x)\cos(x)cos(x)的泰勒多项式

泰勒级数的直观理解（假设为时间x和速度y的关系）

f(a)f(a)f(a): 表示从时刻a开始，当前的里程表的数值 f(a)f(a)f(a)是多少

一次项：拟合匀速运动，速度与时间的乘积

二次项：拟合匀加速度运动，比只拟合匀速运动接近f(a)f(a)f(a)值更加精确

三次项及以上：加速度也不是常数，用三次项表征加速度的变化率，以此类推到无穷多项

泰勒级数的定义:

在数学上，对于一个在实数或复数a{\displaystyle a}a邻域上，以实数作为变量或以复数作为变量的函数，并且是无穷可微的函数 f(x){\displaystyle f(x)}f(x)，它的泰勒级数是以下这种形式的幂级数：

∑n=0∞f(n)(a)n!(x−a)n{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}n=0∑∞n!f(n)(a)(x−a)n
这里， n!{\displaystyle n!}n!表示 n{\displaystyle n}n的阶乘，而 f(n)(a) &NegativeThinSpace;{\displaystyle f^{(n)}(a)\,\!}f(n)(a)表示函数fff在点aaa处的nnn阶导数。如果a=0a=0a=0，也可以把这个级数称为麦克劳林级数。

对任意函数近似

更加普遍的，我们需要近似任何函数的时候，都可以对其求导，获取各阶导数和导数在x=0x=0x=0的值，xnx^nxn项对应的系数就应该为x=0x=0x=0时函数的n阶导数值再除以n！n！n！

下面公式中的第一项，x=0x=0x=0时，P(x)P(x)P(x)的常数项和被拟合的函数f(0)f(0)f(0)的值相等

下一项，也就是一次项，能让两者的斜率相等

二次项，能让两者斜率的变化率相等。

以此类推，高次项越多，近似拟合就越精准，但是多项式也会变得越来越复杂

如果你想求得不是x=0x=0x=0而是x=ax=ax=a附近的近似，你就要用(x−a)(x-a)(x−a)来改写多项式，然后计算在(x−a)(x-a)(x−a)处P(x)P(x)P(x)的各阶导数值。这样，改变aaa的值，就可以调整多项式函数在哪里近似原始函数了。

至此，泰勒多项式就能试用于所有的情况了。

example exe^xex

泰勒级数的几何意义

待续

其他级数

从其他视频资料中作为补充，请参考【补充资料参考】

几何级数

11−x\frac{1}{1-x}1−x1的级数展开如下式，注意xxx的取值范围为0<x<10<x<10<x<1

f(x)=11−x=1+x+x2+x3+x4+...+xnf(x)=\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+...+x^nf(x)=1−x1=1+x+x2+x3+x4+...+xn

假设x=1x=1x=1，则级数会无线增加，导致无法收敛，变成无穷大

几何级数积分

−ln⁡(1−x)-\ln{(1-x)}−ln(1−x)的级数展开如下式，注意xxx的取值范围为0<x<10<x<10<x<1

f(x)=−ln⁡(1−x)=x+x2/2+x3/3+x4/4+...+xn/nf(x)=-\ln{(1-x)}=x+x^2/2+x^3/3+x^4/4+...+x^n/nf(x)=−ln(1−x)=x+x2/2+x3/3+x4/4+...+xn/n

假设x=1x=1x=1，则f(x)=−ln⁡(1−x)=∞f(x)=-\ln{(1-x)}=\infinf(x)=−ln(1−x)=∞，右边多项式1+1/2+1/3+1/4+...1+1/2+1/3+1/4+...1+1/2+1/3+1/4+...。虽然每一项的值是随着n的增加不断减小的，但求和之后的值仍然是趋于无穷的，所以x=!0x=!0x=!0

二项式定理

帕斯卡三角

(1+x)0=(1+x)^0=(1+x)0= 111
(1+x)1=(1+x)^1=(1+x)1= 1+1x1+1x1+1x
(1+x)2=(1+x)^2=(1+x)2= 1+2x+1x21+2x+1x^21+2x+1x2
(1+x)3=(1+x)^3=(1+x)3= 1+3x+3x2+1x31+3x+3x^2+1x^31+3x+3x2+1x3
…
(1+x)p=(1+x)^p=(1+x)p=
当(1+x)p(1+x)^p(1+x)p中ppp不等于整数时，比如p=1/2,−1,πp=1/2, -1, \pip=1/2,−1,π等时，该如何展开？

该问题可以用泰勒级数展开

令f(x)=(1+x)pf(x)=(1+x)^pf(x)=(1+x)p
则：
(1+x)p=1+px+p(p−1)2!x2+p(p−1)(p−2)3!x3+...(1+x)^p=1+px+\frac{p(p-1)}{2!}x^2+\frac{p(p-1)(p-2)}{3!}x^3+...(1+x)p=1+px+2!p(p−1)x2+3!p(p−1)(p−2)x3+...

所以，二项式定理就是泰勒级数的展开的一个应用

(1+x)3=(1+x)^3=(1+x)3= 1+3x+3x2+1x31+3x+3x^2+1x^31+3x+3x2+1x3 展开为啥没有三阶以后的项了？

由于这个函数最高次幂为3三次，连续求导三次之后，再次求导所有项均为0了，所以后面的高次展开项就没有了。
但是，如果p=1/2,−1,πp=1/2, -1, \pip=1/2,−1,π等时，求导不会使导数为0，则高次项就会持续下去。

引用

本文主要参考下列视频内容，感谢视频作者及翻译的无私奉献！

【官方双语/合集】微积分的本质 - 系列合集

补充资料参考

[微积分重点之微分学][MIT][Strang]09_幂级数和欧拉公式

英语

多项式函数：polynomials

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