等价关系，划分，商

在集合 S S S上的关系与集合 S S S中元素的选择相关。例如，在集合 Z \mathbb{Z} Z上的关系 < < <就是一种用来比较两个整数大小的方法：由于 2 < 5 2<5 2<5，所以 2 2 2和 5 5 5在某种意义上是相关的，而 5 5 5和 2 2 2在这个意义下是不相关的。

在实际使用时，关系的意义完全取决于集合中一个元素如何与另一个元素相关。关系直观的定义就是：一个集合 S S S上的关系就是笛卡尔积 S × S S\times S S×S的一个子集 R R R。如果 ( a , b ) ∈ R (a,b) \in R (a,b)∈R，我们就说 a a a和 b b b存在关系 R R R，并且写成 a R b aRb aRb通常我们会用更fancy的符号来表示关系，比如 < , ≤ , = , ∼ , … <,\leq,=,\sim,\dots <,≤,=,∼,…。

相等的关系可以定义成下面这样： { ( a , b ) ∈ S × S ∣ a = b } = { ( a , a ) ∣ a ∈ S } ⊆ S × S \{(a,b) \in S\times S\mid a=b\}=\{(a,a)\mid a \in S\}\subseteq S\times S {(a,b)∈S×S∣a=b}={(a,a)∣a∈S}⊆S×S

牛逼啊， ( a , b ) ∈ S × S (a,b)\in S\times S (a,b)∈S×S是笛卡尔积，这个关系的定义就是 a = b a=b a=b，有了这两个就有了子集 R R R，这个就是关系。

拥有如下三个性质的这种特殊关系非常重要：如果 ∼ \sim ∼表示这种关系，那么 ∼ \sim ∼满足

反身性： ( ∀ a ∈ S ) a ∼ a (\forall a \in S)\ a\sim a (∀a∈S) a∼a；
对称性： ( ∀ a ∈ S ) ( ∀ b ∈ S ) a ∼ b ⟹ b ∼ a (\forall a \in S)\ (\forall b \in S)\ a\sim b \Longrightarrow b \sim a (∀a∈S) (∀b∈S) a∼b⟹b∼a；
传递性： ( ∀ a ∈ S ) ( ∀ b ∈ S ) ( ∀ c ∈ S ) , ( a ∼ b a n d b ∼ c ) ⟹ a ∼ c (\forall a \in S)\ (\forall b \in S)\ (\forall c \in S),(a\sim b\ \mathrm{and}\ b\sim c) \Longrightarrow a\sim c (∀a∈S) (∀b∈S) (∀c∈S),(a∼b and b∼c)⟹a∼c。

每个 a a a都和自身等价；如果 a a a等价于 b b b，那么 b b b也等价于 a a a。

定义 1.1. 在集合 S S S上满足上面三个性质的任意关系 ∼ \sim ∼就是等价关系。

集合上的关系非常宽泛，没有关系也是一种关系，在众多的关系中，拥有上面三种性质的关系非常重要，单独把它拎出来叫做等价关系。

等价关系中 S × S S\times S S×S相应的子集 R R R，反身性说的是diagonal存在于 R R R中，对称性说的是如果沿着对角线反转， R R R保持不变，也就是如果每个 ( a , b ) (a,b) (a,b)交换成 ( b , a ) (b,a) (b,a)；传递性并没有很合适的pictorial translation。

在 S S S上等价关系的数据相当于一种类型信息，在一开始可能有点不一样，就是 S S S的划分（ p a r t i t i o n partition partition）。 S S S的划分是一簇 S S S不相交的的非空子集，它们的并集是 S S S：例如， P = { { 1 , 4 , 7 } , { 2 , 5 , 8 } , { 3 , 6 } , { 9 } } \mathscr{P}=\{\{1,4,7\},\{2,5,8\},\{3,6\},\{9\}\} P={{1,4,7},{2,5,8},{3,6},{9}}就是集合 { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} {1,2,3,4,5,6,7,8,9}的一个划分。

如何通过在 S S S上的关系 ∼ \sim ∼得到一个 S S S的划分：对于每个元素 a ∈ S a \in S a∈S， a a a的等价类（ e q u i v a l e n c e c l a s s equivalence\ class equivalence class）是 S S S的一个子集，被定义为 [ a ] ∼ ≔ { b ∈ S ∣ b ∼ a } [a]_{\sim}\coloneqq\{b \in S\mid b\sim a\} [a]∼:={b∈S∣b∼a}然后等价类就构成了 S S S上的一个划分 P \mathscr{P} P。

反过来，每个划分 P \mathscr{P} P都对应一个等价类。因此 S S S上的等价类和 S S S上的划分含义相同。

现在我们可以把 P ∼ \mathscr{P}_{\sim} P∼看作一个集合，它的元素是相对于关系 ∼ \sim ∼的等价类。这就是在1.3节提到的商操作。

这里 ∼ \sim ∼是等价关系， P ∼ \mathscr{P}_{\sim} P∼是所有等价类的集合，后面有个证明题。

定义 1.2. 集合 S S S相对于等价关系 ∼ \sim ∼的商（ q u o t i e n t quotient quotient）就是集合：
S / ∼ ≔ P ∼ \left. S \middle/ \sim \right. \coloneqq\mathscr{P}_{\sim} S/∼:=P∼

例子 1.3. 令 S = Z S=\mathbb{Z} S=Z，并且令 ∼ \sim ∼是定义为如下式子的关系 a ∼ b ⟺ a − b 为偶数 a\sim b \Longleftrightarrow a - b\ 为偶数 a∼b⟺a−b 为偶数那么 Z / ∼ \left. \mathbb{Z} \middle/ \sim \right. Z/∼包含了两个等价类： Z / ∼ = { [ 0 ] ∼ , [ 1 ] ∼ } \left. \mathbb{Z} \middle/\sim \right. =\{[0]_{\sim},[1]_{\sim}\} Z/∼={[0]∼,[1]∼}
实际上，每个整数 b b b要么是偶数（因为 b − 0 b-0 b−0是偶数，所以 b ∼ 0 b\sim 0 b∼0， b ∈ [ 0 ] ∼ b\in [0]_{\sim} b∈[0]∼）或者奇数（因此 b − 1 b-1 b−1是偶数，所以 b ∼ 1 b\sim 1 b∼1， b ∈ [ 1 ] ∼ b \in [1]_{\sim} b∈[1]∼）。这就是模运算的起点。

另一种思考这种操作是在商的操作下等价关系变得相等了：就是说在商 S / ∼ \left. S \middle/\sim\right. S/∼中的两个元素是相等的当且仅当 S S S中对应的元素有关系 ∼ \sim ∼。换句话说，商是一种将等价关系变得相等。在后面的“categorical terms”将会进一步的正规化（5.3节）。

解读

等价关系是笛卡尔积的一个子集
等价关系的三个性质很重要

单词

Intuitively:
affinity
-reflexivity
symmetry
transitivity
diagonal
datum: 数据;资料

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