哈啰~ 大家好，今天分享一个有趣的皇后问题。

八皇后问题是西洋棋延伸而来的问题，

西洋棋的皇后是威力很大的棋子，

皇后在棋盘上的「攻击范围」为同行、同列、同对角线的地方，

要如何在8*8的方形棋盘上摆放八个皇后，使得每个皇后互相不在攻击范围中?

我们可以将问题推广为:

「如何在n*n的方形棋盘上摆放n个皇后，使得每个皇后互相不在攻击范围中?」

考量或许不是每个人都玩过西洋棋，

这边小马画个简单的示意图描述什么是皇后的「攻击范围」:

如图示，假设以红点代表皇后，

那么由该点延伸出去同行、同列、同对角线都是不能放皇后的。

给出一组八皇后问题的实例解:

(图片来源: 维基百科)

我们希望以程序找出所有不同的解。

(为了方便思考，先从小case四皇后问题想起吧)

思考重点一: 决定表达一组解的格式

在正式解问题之前，首先我们先决定如何表示一组解答，

最直觉的方式恐怕是用一个二维列表在表示整个棋盘吧，

以0表示没有放皇后，1表示有放皇后，

比如说用[[0, 1, 0, 0], [0, 0, 0, 1], [1, 0, 0, 0], [0, 0, 1, 0],]

表示一组放皇后的格式，

这样子最符合直觉，

可是我们发现，因为棋盘大部分的格子是不摆皇后的，

这样记录一组解其实蛮浪费空间的。

我们可以确定，

至少我们不会傻到在同一列放上两个皇后，

所以实际上我们每列用一个数字用可以记录皇后放在哪个位置了，

在上例中，皇后放在第一列index 1 的位置，第二列index 3 的位置，第三列index 0 的位置，第四列index 2 的位置，

因此，我们可以简单用阵列(1,3,0,2)来表示这组解。

思考重点二: 递迴关係(这边以python为例)

我们会想要一列一列摆放皇后，

第一列皇后位置摆好后尝试在第二列放皇后。

假设我们有一个神奇的函数queens(n, state)，

n代表总共有几个皇后，

state以元组代表前已经摆好的皇后位置，

然后这个函数会回传后续所有可能的解。

譬如我们可以穷举知道四皇后问题只有(1,3,0,2)，(2,0,3,1)这两组解。

(注意: 当python元组(tuple)只有一个元素，应该写(1,)而非(1))

我们期待，当我们呼叫queens(4, (1,))这个函数时，

会返回[(3,0,2)]，把后续可能的皇后位置以列表形式回传。

试想，如果queens(n, state)有这样的效果，

那我们只要呼叫queens(4, ())便可以得到[(1,3,0,2), (2,0,3,1)]所有答案了。

那么该如何写递迴关係呢?

假设我们已经在第一列的index0的位置放了一个皇后:

那么扣除「攻击范围」，第二列可放的index就只有2跟3了，如图示:

仔细想想，queens(4, (0,))的所有解，不是能够由

queens(4, (0,2))的queens(4, (0,3))的所有解给拼凑出来吗?

我们试着给程序逻辑打个草稿吧:def queens(n, state): if len(state) == n: #递迴终止条件 return [()] ans = [] #记录在state棋子已经放好的状况下，后续的所有解答 for 位置 in range(n): #尝试在下一列中放新的皇后 if 这个位置不在前面皇后的攻击范围: ans 添加所有来自queens(n, state+(位置, ))的解答 return ans

嗯…逻辑大概就是这样，接着我们把细节想的更清楚一些。

细节思考: 判断皇后位置冲突

由于我们希望判断下一列中放新的皇后会不会在前面皇后的攻击范围，

我们定义一个这样的函数conflict(state, nextX)，

若新皇后在任何已放置皇后的攻击范围，回传True。

比如说conflict((0,), 1)的意思是，

假设我们已经在第一列index0放了一个皇后，

再下一列index1的位置放皇后有没有事?如图示:

(以本例来说，此皇后在第一个皇后的斜对角攻击范围，应回传True)

大家可以自行做简单数学推导，

若两组(x,y)座标在同一条对角线，

x座标绝对值之差 = y座标绝对值之差。

我们的逻辑就判断两件事:若新皇后与任何旧皇后在同一行，回传True

若新皇后与任何旧皇后在同一条对角线，回传True

其余状况都返回False，

在python中可以写的很精简:def conflict(state, nextX): nextY = len(state) return any(abs(state[i] - nextX) in (0, nextY - i) for i in range(nextY))

细节思考: 收集下一列所有可能答案

刚刚queens(n, state)只是简单打了函数逻辑，

有了判断冲突的conflict函数，我们试着补上细节:def queens(n, state = ()): # 初始默认state是空棋盘 if len(state) == n: return [()] ans = [] for pos in range(n): if not conflict(state, pos): ans += [(pos,)+ result for result in queens(n, state + (pos,))] return ans

大功告成了，最后呼叫一下print(queens(4))，

应该就可以得到[(1, 3, 0, 2), (2, 0, 3, 1)]的结果啰。

两种思路- c++与python两种解

目前我共写了c++与python两种语言解n皇后问题，

各表达不同的思路，

c++是每搜索到一组解就印出来(省空间)。

python我直接用递迴一口气搜到全部的解再印出来，

都给大家参考看看

(注: 程序码中的WeiZhi就是「位置」的音译)

python语言解# 视觉化的把一组答案印出来def output(WeiZhi, num): print(f"第{num}种方案(■表示皇后):") sz = len(WeiZhi) HLINE = \' \' * 3 + \'+---\' * sz + \'+\' VLINE = (\' \' * 3 +\'|\') * (sz+1) title = \' 1\' for i in range(1,sz): title += \' \' * 3 +str(i+1) print(title) print(HLINE) for y in range(sz): print(VLINE) print(y+1, end=\' \') for x in range(sz): print(\'| ■\' if WeiZhi[y]==x else \'| 0\', end=\' \') print(\'|\') print(VLINE) print(HLINE) def conflict(state, nextX): nextY = len(state) return any(abs(state[i] - nextX) in (0, nextY - i) for i in range(nextY))def queens(n, state = ()): # 初始默认state是空棋盘 if len(state) == n: return [()] ans = [] for pos in range(n): if not conflict(state, pos): ans += [(pos,)+ result for result in queens(n, state + (pos,))] return ansqueenNUM = 4for i, q in enumerate(queens(queenNUM)): output(q, i+1)

c++语言解#include #include using namespace std;#define QUEENNUM 4int WeiZhi[QUEENNUM]; //记录每列的皇后放在第几行// 视觉化的把一组答案印出来void Output(){ static int iCount = 0; printf("第%2d种方案(★表示皇后):\\n",++iCount); cout <

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