QR code 二维码基础入门教程（二）

承接上文，让我们继续下面的步骤

纠错码编码

先说说纠错容量

纠错码可以纠正两种错误：
1. 拒读错误（错误码位置已知），是一个没有扫到或者无法译码的符号字符，需要一个纠错码
2. 替代错误（错误码位置未知），是一个错误译码的符号字符，需要两个
3. 数量公式：e+2t≤d−pe+2t≤d−pe+2t \le d - p，其中
  - eee为拒读错误数
  - t" role="presentation">ttt为替代作物数
  - ddd为纠错码字数
  - p" role="presentation">ppp为错误检测码字数（1-L时p=3，1-M和2-L时p=2，1-H、1-Q、和3-L时，p=1，其余p=0）
举个例子：版本6-H，有112个纠错码(查表 error correction table，定位6-H，28*4=112)，数据容量为60个码字，共172个码字。那么112个纠错码可以纠正56个替代错误或者112个拒读错误，纠错容量为 56/172 = 32.6%

Step 1 将数据码字进行分组

根据 error correction table 将数据进行分块，下面举个例子
1. 一个数据经过以5-Q形式进行数据编码后如下，共62个码字
  
  (codeword #1) 01000011
  (codeword #2) 01010101
  (codeword #3) 01000110
  (codeword #4) 10000110
  (codeword #5) 01010111
  (codeword #6) 00100110
  (codeword #7) 01010101
  (codeword #8) 11000010
  (codeword #9) 01110111
  (codeword #10) 00110010
  (codeword #11) 00000110
  (codeword #12) 00010010
  (codeword #13) 00000110
  (codeword #14) 01100111
  (codeword #15) 00100110
  (codeword #16) 11110110
  (codeword #17) 11110110
  (codeword #18) 01000010
  (codeword #19) 00000111
  (codeword #20) 01110110
  (codeword #21) 10000110
  (codeword #22) 11110010
  (codeword #23) 00000111
  (codeword #24) 00100110
  (codeword #25) 01010110
  (codeword #26) 00010110
  (codeword #27) 11000110
  (codeword #28) 11000111
  (codeword #29) 10010010
  (codeword #30) 00000110
  (codeword #31) 10110110
  (codeword #32) 11100110
  (codeword #33) 11110111
  (codeword #34) 01110111
  (codeword #35) 00110010
  (codeword #36) 00000111
  (codeword #37) 01110110
  (codeword #38) 10000110
  (codeword #39) 01010111
  (codeword #40) 00100110
  (codeword #41) 01010010
  (codeword #42) 00000110
  (codeword #43) 10000110
  (codeword #44) 10010111
  (codeword #45) 00110010
  (codeword #46) 00000111
  (codeword #47) 01000110
  (codeword #48) 11110111
  (codeword #49) 01110110
  (codeword #50) 01010110
  (codeword #51) 11000010
  (codeword #52) 00000110
  (codeword #53) 10010111
  (codeword #54) 00110010
  (codeword #55) 11100000
  (codeword #56) 11101100
  (codeword #57) 00010001
  (codeword #58) 11101100
  (codeword #59) 00010001
  (codeword #60) 11101100
  (codeword #61) 00010001
  (codeword #62) 11101100
2. 查表得，5-Q需要将数据分为2个Group，第一个Group有2个Block(15个码字)，第二个Group有2个Block(16个码字)
3. 进行分组，得到如下表

Group Number	Block Number	Data Codewords in the Group
Group 1	Block 1	(codeword #1) 01000011 (codeword #2) 01010101 (codeword #3) 01000110 (codeword #4) 10000110 (codeword #5) 01010111 (codeword #6) 00100110 (codeword #7) 01010101 (codeword #8) 11000010 (codeword #9) 01110111 (codeword #10) 00110010 (codeword #11) 00000110 (codeword #12) 00010010 (codeword #13) 00000110 (codeword #14) 01100111 (codeword #15) 00100110
Group 1	Block 2	(codeword #16) 11110110 (codeword #17) 11110110 (codeword #18) 01000010 (codeword #19) 00000111 (codeword #20) 01110110 (codeword #21) 10000110 (codeword #22) 11110010 (codeword #23) 00000111 (codeword #24) 00100110 (codeword #25) 01010110 (codeword #26) 00010110 (codeword #27) 11000110 (codeword #28) 11000111 (codeword #29) 10010010 (codeword #30) 00000110
Group 2	Block 1	(codeword #31) 10110110 (codeword #32) 11100110 (codeword #33) 11110111 (codeword #34) 01110111 (codeword #35) 00110010 (codeword #36) 00000111 (codeword #37) 01110110 (codeword #38) 10000110 (codeword #39) 01010111 (codeword #40) 00100110 (codeword #41) 01010010 (codeword #42) 00000110 (codeword #43) 10000110 (codeword #44) 10010111 (codeword #45) 00110010 (codeword #46) 00000111
Group 2	Block 2	(codeword #47) 01000110 (codeword #48) 11110111 (codeword #49) 01110110 (codeword #50) 01010110 (codeword #51) 11000010 (codeword #52) 00000110 (codeword #53) 10010111 (codeword #54) 00110010 (codeword #55) 11100000 (codeword #56) 11101100 (codeword #57) 00010001 (codeword #58) 11101100 (codeword #59) 00010001 (codeword #60) 11101100 (codeword #61) 00010001 (codeword #62) 11101100

查表可知5-Q中每个块有18个纠错码，因此一共是18*4=72个纠错码

Step 2 理解多项式长除法

这个比较简单，以 (x+1)√(3x2+x−1)(x+1)√(3x2+x−1)(x+1)\surd(3x^2+x-1) $为例

最终结果是 3x+23x+23x+2，余数为1（特别的，就是 1x^0)

Step 3 理解Galois Field

说实话，我看了一些博客还是不理解这个。暂时认为，任意的两个数在这个域中，那么它们的数学运算结果也在这个域中。
QR 标准中使用位的模2算法和字节模100011101，这种情况下我们称使用了Galois Field 28282^8，或者GF(256)
GF(256)包括256个数字 0….255，所有在GF(256)的数学操作的结果都会落在0…255中

Step 4 理解Galois Field算术

运算结果如果大于255，那么需要做取模操作，这样使得结果人在GF中
在GF中，−n=n−n=n-n = n，因此加法和减法是一样的
位模2，其实就是XOR，举例：
- (1 + 1)%2 == (1 XOR 1) == 0
- (1 + 0)%2 == (1 XOR 0) == 1
- (0 + 0)%2 == (0 XOR 0) == 0

Step 5 利用逐字节100011101取模，生成2的乘幂

我们想做这样一件事情，用2n2n2^n表示[0,255]中的所有数，例如用20=120=12^0=1，22=422=42^2=4。那么我们有2的0次方到8次方为：
- 20=120=12^0 = 1
- 21=221=22^1 = 2
- 22=422=42^2 = 4
- 23=823=82^3 = 8
- 24=1624=162^4 = 16
- 25=3225=322^5 = 32
- 26=6426=642^6 = 64
- 27=12827=1282^7 = 128
- 28=25628=2562^8 = 256
当 n≥8n≥8n \ge 8 时，2n>2552n>2552^n > 255，超出了 [0,255][0,255][0,255] 的范围，因此当 2n>2552n>2552^n > 255 时，我们要对 2n2n2^n 用 100011101 取模。100011101 也就是十进制 285。换句话说，28=256mod285=2928=256mod285=292^8= 256 \mod 285 = 29 。
注意，当我们计算 29292^9 时，并不是用 512 去 XOR 285，而是用 29=28∗2=29∗2=5829=28∗2=29∗2=582^9 = 2^8 *2 = 29*2 = 58 得到结果。
我们继续举一些例子来说明计算方式：
210=29∗2=58∗2=116210=29∗2=58∗2=1162^10 = 2^9*2 = 58*2 = 116
211=210∗2=116∗2=232211=210∗2=116∗2=2322^{11} = 2^{10}*2 = 116*2 = 232
212=211∗2=232∗2=464mod285=205212=211∗2=232∗2=464mod285=2052^{12} = 2^{11}*2 = 232 * 2 = 464 \mod 285 = 205
只要超过了 255，那么就做 100011101 的 XOR（即取模于 285）

Step 6 利用逐字节100011101取模，生成2的乘幂

Step 5 让 [0,255][0,255][0,255] 所有的数都被表示成 2n2n2^n，这可以用 logs 和 antilogs 来简化 GF(256) 中的乘法操作。
基本知识：2n∗2m=2m+n2n∗2m=2m+n2^n * 2^m = 2^{m+n}。举例 22∗28=210，2170∗2164=2334=2334mod255=27922∗28=210，2170∗2164=2334=2334mod255=2792^2*2^8 = 2^{10}，2^{170}*2^{164}=2^{334} = 2^{334 \mod 255} = 2^{79}

Step 7: 理解生成器多项式

首先要确定纠错码码字的个数。例如 5-Q 有 72 个，1-L 有 7 个。
接下来有点复杂，请看原文，耐心一点看例子，不难的。
生成器多项式只与纠错码码字的个数有关，因此是可以预先生成的。这里有个神奇的链接可以生成生成器多项式

Step 8: 生成纠错码码字

我们利用多项式除法来生成纠错码码字。我们需要两个多项式：消息多项式和生成器多项式。用消息多项式除以生成器多项式，得到的余数结果即为纠错码码字。
进行多项式除法之前，消息多项式先乘上 xnxnx^n，其中 nnn 是纠错码的个数，这样保证消息多项式足够大进行除法。

Step 9: 消息多项式除以生成器多项式

第一步：生成器多项式乘上消息多项式的头一项。
第二步：将生成器多项式中的 2n" role="presentation">2n2n2^n 转为 [0,255][0,255][0,255]的数字。
第三步：进行多项式除法。
重复 1~3 步，共进行 m 次，其中 m 为数据码字的个数。
最终得到余数，即纠错码码字。具体过程参看 Show polynomial division steps

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QR code 二维码基础入门教程（二）

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纠错码编码

先说说纠错容量

Step 1 将数据码字进行分组

Step 2 理解多项式长除法

Step 3 理解Galois Field

Step 4 理解Galois Field算术

Step 5 利用逐字节100011101取模，生成2的乘幂

Step 6 利用逐字节100011101取模，生成2的乘幂

Step 7: 理解生成器多项式

Step 8: 生成纠错码码字

Step 9: 消息多项式除以生成器多项式

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