一、选用算法的原则

原则如下：

尽量避免两个相近数相减
尽量简化运算步骤、减少运算次数
尽量防止大数“吃掉”小数
尽量选用数值稳定性好的算法

1、避免两个相近数相减

举几个例子：

当xxx很大时，将算式1x−1x+1\frac{1} {x} - \frac {1} {x+1}x1−x+11换为1x(x+1)\frac {1} {x(x+1)}x(x+1)1
当xxx很大时，将算式x+1−x\sqrt{x+1} - \sqrt{x}x+1−x换成1x+1+x\frac {1} {\sqrt{x+1} + \sqrt{x}}x+1+x1
当x1x_1x1、x2x_2x2很接近时，将算式lg⁡x1−lg⁡x2\lg x_1 - \lg x_2lgx1−lgx2换成lg⁡x1x2\lg \frac {x_1} {x_2}lgx2x1

2、简化运算步骤、减少运算次数

举个例子：

计算多项式函数pn(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0p_n(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1x + a_0pn(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0时，可以写成pn(x)=(…((anx+an−1)x+an−2)x+an−3…+a1)x+ap_n(x) = (\ldots ((a_nx + a_{n-1})x + a_{n-2})x + a_{n-3} \ldots + a_1)x + apn(x)=(…((anx+an−1)x+an−2)x+an−3…+a1)x+a
这也是秦九韶算法（递推算法），可以按照下列公式计算：{un=anuk=xuk+1+ak(k=n−1,n−2,⋯,1,0)pn(x)=u0\begin{cases} u_n = a_n \\ u_k = xu_{k+1} + a_k & {(k = n-1, n-2, \cdots, 1, 0)} \\ p_n(x)=u_0 \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧un=anuk=xuk+1+akpn(x)=u0(k=n−1,n−2,⋯,1,0)

3、防止大数“吃掉”小数

为了防止出现“机器零”，也可以给每个数乘一个大的因子，例如乘以10，最后再计算原数值。

4、选用数值稳定性好的算法

举个例子：

计算积分In=∫01xnex−1dx(n=0,1,2,⋯)I_n = \int _0^1 x^ne^{x-1} \, dx (n = 0, 1, 2, \cdots)In=∫01xnex−1dx(n=0,1,2,⋯)
如果采用下面的递推算法，虽然I0I_0I0的近似值误差很小，但是当nnn很大的时候计算结果往往失真严重，这样的算法，称为数值不稳定的算法。{I0=1−e−1In=1−nIn−1\begin{cases} I_0 = 1 - e^{-1} \\ I_n = 1 - nI_{n-1} \end{cases}{I0=1−e−1In=1−nIn−1
因此应该采用这样的算法：In−1=1n(1−In)I_{n-1} = \frac {1} {n} (1 - I_n)In−1=n1(1−In)

二、算法稳定性评估

一个算法稳定性的判断，关键是要推导出误差的传播公式。若误差在计算过程中变化大就是不稳定的，否则就是稳定的。

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《数值分析》学习笔记 ·003——数值计算中应该注意的几个问题

文章目录

一、选用算法的原则

1、避免两个相近数相减

2、简化运算步骤、减少运算次数

3、防止大数“吃掉”小数

4、选用数值稳定性好的算法

二、算法稳定性评估

《数值分析》学习笔记 ·003——数值计算中应该注意的几个问题相关推荐

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