1.正态分布

英国生物统计学家法兰西斯·高尔顿做了一个实验。他在一块木板上画了一块等腰三角形，并在三角形区域内钉上n+1层钉子。第1层钉2个钉子，第2层钉3个钉子，下面每一层都比上一层增加一个钉子，上一层的每个钉子都在下一层两个钉子的中间位置。之后，在第n+1层的下面，放入n+2个球槽。

建成后，高尔顿从顶端逐个扔下小球，这些小球在下落过程中与众多钉子发生碰撞，每次碰撞都会使得小球随机向左或向右下落。随着小球个数的增加，掉入各个球槽内的小球的个数会越来越多，堆积的高度也会不断增加。最终，如下图所示，各球槽将呈现出“中间高，两边低”的分布，与我们的身高数据分布非常相似。

并且，如果进一步增加钉子的层数和小球个数，球槽中小球分布形成的曲线就会越来越光滑，最终趋向于下图“中间高，两边低”的“钟型”曲线，我们将这条曲线称为正态分布密度曲线，简称正态曲线。

在生活中，餐馆开业稳定后的顾客流量，就符合正态分布。

假设你的餐馆平均每天有 100 个顾客，比较好的时候能到 115 人，比较差的时候也有 85 人，那么画出图来，就是下面这样的一条钟形曲线 ——

曲线的横坐标代表每天来的人数，纵坐标代表在比如说一个季度之中，来这么多人的时候有多少天。

图中标记了正态分布的两个重要概念：平均值(μ)，和标准差(σ)。

对你这个餐馆来说，μ = 100，σ = 15，这意味着在 68%的日子里，你的顾客人数会在 85 和 115 之间 —— 这叫“一个标准差之内”。

横轴上距离平均值越远的地方越是极端事件，而那些事件的纵坐标大小则代表它们发生的概率。

只要你知道餐馆人数符合正态分布，平均值和标准差就都可以用平时的流量数据统计出来。

有了平均值和标准差你就可以大致估算各种事件发生的概率：95%的事情都发生在两个标准差之内，99.7% 的事情发生在三个标准差之内。

为什么餐馆人数满足正态分布？

并不是所有随机事件都满足正态分布。中心极限定理说，如果一个事件满足下面这些条件，它的分布就是正态分布 ——

第一，它是由多个(至少 20 个) 随机变量“相加”的结果；

第二，这众多的随机变量是互相“独立”的；

第三，每个随机变量的方差都只有有限大；

第四，每个随机变量对结果都要有一定的贡献，否则如果只是其中几个起到决定性的作用，那也不能算“多”。

简单地说，关键要求有两个：“相加”和“独立” —— 凡是多个独立随机变量相加的事件，结果就会是正态分布。

你的餐馆顾客满足这些条件。每个顾客来不来吃饭都是他自己的决定，是独立的；而你计算的是今天总共来了多少人，是这些人的和。

生物学家认为人的身高是由至少 180 个基因共同决定的。有的决定你的小腿有多长，有的决定你的脖子有多长 —— 而你的身高，是所有这些因素相加之和。作为一个很好的近似，决定身高的各个基因是比较互相独立的。所以身高满足正态分布。

2.对数正态分布

如果一个事件的结果不是由独立随机事件相加、而是由相乘决定的，它的分布将是“对数正态分布”。这个分布的形状就不是对称的钟形了，而是像下面这样 ——

它有一个比较长的尾巴。这意味着其中发生极端事件的可能性比正态分布高很多。

比如说涨工资吧。有个公司，本来员工之间工资相差不大。有一天老板宣布了一个涨工资计划，说以后每年业绩突出的员工，工资会增加 10%。你猜这个政策意味着什么？

意味着员工之间的工资差距将会变得越来越大。可能老王工资本来就比小李高，这次业绩又比小李好，那么老王涨 10%，小李没有，所以两人的差距将会变大。

换一种情况，老王表现没有小李好，那么小李涨 10%，两人差距会缩小。但是，请注意，因为老王工资高，所以第一种情况导致的工资差距拉大，会超过第二种情况导致的工资差距缩小 —— 所以总体看来，全体员工的收入差距必然拉大。

这就是因为你使用了相乘的方法。换个方案，如果规定业绩好的员工，不论之前的工资是多少，一律涨一万块钱，那么员工之间的工资差距就不会拉大。

请注意，对数正态分布仍然假设每个随机变量的作用是互相独立的 —— 这意味着哪个员工今年能做出更好的业绩，跟他去年的工资没关系。而如果你认为员工工资代表了能力，那么工资越高的人就越有可能做出好业绩，那结果就不会是对数正态分布了，而是比这还要容易出极端事件的“幂律分布”。

3.幂律分布

幂律分布的“长尾”，比对数正态分布更长 ——

这意味着幂律分布中会有大量的极端事件。

幂律分布是“不独立”的随机变量作用的结果。

第一个模型是“马太效应”。比如你去书店买书，那么多本书选哪本呢？你会优先关注那些上了排行榜的“畅销书”。这等于说越畅销的书就会越容易被关注，而越容易被关注就让它进一步更畅销。幂律分布使得图书市场中会出现少量特别畅销的书，而绝大多数书的销售成绩都很差。

而这一切都是因为你做决定的时候是在模仿别人。你看到别人都买这本书，所以你才关注它。你的买书行为不是独立的。

另一种幂律分布模型来自于复杂系统的“自组织”现象。一个系统在变大、变复杂的过程中，它的各个部分互相依赖的程度将会增加。到了一个临界点，因为互相关联实在太紧密了，一部分出个小问题就会导致整个系统出大问题，那就是雪崩式的灾难。

核电站的安全性、地震、森林大火，这些事情中包含自组织，各个部分之间会有复杂的联动。所谓蝴蝶效应，罪过不在蝴蝶，恰恰就是因为系统中的复杂联动。这些系统可能平时什么事都没有，但是其中蕴含着大灾难的可能性。

本文部分摘选自得到课程：万维钢精英日课3，模型思考者。