【数学建模】面包店老板使日均收入最大化的诀窍

1 问题描述

面包店每天烘烤一定数量的面包出售，每个成本3元，以8元的价格卖出，晚间关门前将未卖完的面包无偿处理掉，若已知每天面包需求量的概率分布如下表所示。从长期看，面包店老板为了能得到最高的日均收入，他每天要烘烤多少个面包？这个最高日均收入是多少？

表1 面包日需求量概率分布
需求量/个	50	100	150	200	250
概率	0.2	0.3	0.2	0.2	0.1

2 问题分析与符号定义

从问题描述中可知，面包店一天的收入为：已售出的面包数量×(8-3)-未卖完的面包数×3

引入以下符号定义：

$s_{1}$ ：售出一个面包而获得的利润

$s_{2}$ ：未卖完一个面包而损失的利润

$r$ ：面包日需求量

$f(r)$ ：日需求量 $r$ 的概率分布

$q$ ：一天烘烤的面包数量

因当天的收入与当天烘烤的面包数量和当天面包的需求量紧密相关，所以记一天的收入为 $s(r,q)$ ，即 $s$ 是关于 $r$ 、 $q$ 的函数。

3 建立模型

日收入情况讨论分析：

(1) 当需求小于等于供给时， $s(r,q)=s_{1}r-s_{2}(q-r)$

(2) 当需求大于供给时， $s(r,q)=s_{1}q$

于是 $s(r,q)$ 可由分段函数表示，

$\begin{equation} s(r,q)=\left\{ \begin{aligned} s_{1}r-s_{2}(q-r) \quad r\leqslant q\\ s_{1}q \quad r>q\\ \end{aligned} \right . \end{equation}$ (1)

上式中， $r$ 为随机变量。现在的问题转化为，当 $q$ 为多少时，数学期望 $E[s(r,q)]$ 最大。由公式(1)，以及 $r$ 的概率分布 $f(r)$ ，可得 $E[s(r,q)]$ 的表达式，

$E[s(r,q)]=\sum_{r=0}^{q}[s_{1}r-s_{2}(q-r) \cdot f(r)]+\sum_{r=q+1}^{n}s_{1}q \cdot f(r)$ (2)

4 问题求解

求解 $q$

这里通过使 $q$ 值逐渐增大的方法来求最大期望。

思考：当烘烤的面包数量 $q$ 从1开始逐渐增加时，日均利润也将逐渐增大，当 $q$ 超过某个值 $\alpha$ ，日均利润不升反降时，那么小于 $\alpha$ 的最大 $q$ 值即为使得期望 $E[s(r,q)]$ 最大的取值。

这里分情况讨论一下日烘烤面包数量从 $q$ 增加到 $q+1$ 后，日均利润的变化情况。

情况1：若 $r>q$ ，则从 $q$ 增加到 $q+1$ ，可以多卖出1个面包，日均利润增加 $s_{1}$ 元；

情况2：若 $r\leqslant q$ ，则从 $q$ 增加到 $q+1$ ，因多出一个卖不出去的面包，日均利润减少 $s_{2}$ 元；

由以上分析， $E(s)$ 可形式化表示为：

$E(s_{q+1})-E(s_{q})=s_{1}\cdot P(r>q)-s_{2}\cdot P(r\leqslant q)$ (3)

其中， $P(r>q)$ 表示 $r>q$ 的概率， $P(r\leqslant q)$ 表示 $r\leqslant q$ 的概率， $E(s_{q+1})$ 表示烘烤面包数量为 $q+1$ 时，日收入 $s(r,q+1)$ 的数学期望。

注意到 $P(r>q)=1-P(r\leqslant q)$ ，代入公式(3)，化简后得，

$E(s_{q+1})-E(s_{q})=s_{1}-(s_{1}+s_{2})\cdot P(r\leqslant q)$ (4)

观察公式(4)，可以看出，当 $(s_{1}+s_{2})\cdot P(r\leqslant q)>s_{1}$ ，即当

$P(r\leqslant q)>\frac{s_{1}}{s_{1}+s_{2}$ (5)

$E(s_{q+1})-E(s_{q})<0$ ，也就是，取满足不等式(5)的最小 $q$ 值，即能使期望 $E(s)$ 取得最大值.

将 $s_{1}=5$ ， $s_{2}=3$ 代入不等式(5)，得

$P(r\leqslant q)>\frac{5}{5+3}=\frac{5}{8}$ (6)

根据表1的概率分布，满足不等式(6)的最小 $q=150$

求解日均最高收入 $E[s(r,q)]$

将 $q=150,s_{1}=5, s_{2}=3$ 代入公式(2）可求得 $E[s(r,150)]=470$ (元)