2020牛客多校9：B. Groundhog and Apple Tree（树形DP + 分类讨论 + 贪心）

题目大意：有一棵苹果树，每个节点有一个苹果，吃掉 uuu 点的苹果能获得 aua_uau点 HP，经过第 iii 条边需要消耗 wiw_iwi HP，在原地等待一秒可以获得 111 HP，每条边只能经过两次，问从1号节点出发吃掉所有苹果最少需要等待多少秒。

分析：首先在某个点一次性把所需要的HP等够是显然正确的，根据每条边只能经过两次，解的形式一定是先吃掉某棵子树，再回到根，再吃其它子树，最优解是一个吃的顺序的问题，而吃掉子树是一个子问题，考虑用树形 dp。

设 dp[u]dp[u]dp[u] 表示以 uuu 为根的答案， sum[u]sum[u]sum[u] 表示吃完 uuu 的子树后 HP 的变化。

sum[u]sum[u]sum[u] 转移方程：sum[u]=∑v∈son(u)(sum[v]−2∗wv)sum[u] = \sum_{v\in son(u)}(sum[v] - 2 * w_v)sum[u]=∑v∈son(u)(sum[v]−2∗wv)
dp[u]dp[u]dp[u] 的转移要考虑子树的遍历顺序。

对于第 iii 棵子树，进入到这棵子树需要 ai=dp[i]+wia_i = dp[i] + w_iai=dp[i]+wi，从他回到 uuu 后得到的 HP 为 bi=dp[i]+sum[i]−wib_i=dp[i]+sum[i]-w_ibi=dp[i]+sum[i]−wi

对遍历顺序进行分类讨论，简化问题，考虑只有两棵子树时的遍历顺序：

先遍历 bi≥aib_i \geq a_ibi≥ai 的子树更优：

设有 ai≤bi,aj>bja_i \leq b_i,a_j > b_jai≤bi,aj>bj，分别讨论先 iii 和先 jjj 的答案：
1、若 ai≥aja_i \geq a_jai≥aj，则两种情况答案分别为：aia_iai, aj+ai−bja_j + a_i - b_jaj+ai−bj
2、若 ai<aja_i < a_jai<aj，则两种情况答案分别为：ai+max(aj−bi,0)a_i + max(a_j - b_i,0)ai+max(aj−bi,0) ， aj+max(ai−bj,0a_j + max(a_i - b_j,0aj+max(ai−bj,0,画一下发现先 iii 答案至多为 aja_jaj，而先 jjj 答案至少为 aja_jaj

若均满足 a<ba<ba<b：
设有 ai≤bi,aj≤bja_i \leq b_i, a_j \leq b_jai≤bi,aj≤bj，设 ai<aja_i < a_jai<aj
两种情况答案分别为：ai+max(aj−bi,0)a_i + max(a_j - b_i,0)ai+max(aj−bi,0)，aja_jaj，由于 bi≥aib_i \geq a_ibi≥ai，显然有 ai+max(aj−bi,0)≤aja_i + max(a_j - b_i,0) \leq a_jai+max(aj−bi,0)≤aj

若均满足 a>ba>ba>b：
设有 ai>bi,aj>bja_i > b_i, a_j > b_jai>bi,aj>bj
两种情况分别为：ai+max(aj−bi,0)a_i + max(a_j - b_i,0)ai+max(aj−bi,0)，aj+max(ai−bj,0)a_j + max(a_i - b_j,0)aj+max(ai−bj,0)，在纸上画一下可以发现先遍历 bbb 更大的子树更优。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define pii pair<int,int>
#define fir first
#define sec second
typedef long long ll;
const int maxn = 1e5 + 10;
vector<pii> g[maxn];
int t, n, a[maxn];
ll dp[maxn], sum[maxn];
struct node {ll in, out;node() {}node(ll i,ll j) {in = i, out = j;}
};
bool cmp1(node x,node y) {return x.in < y.in;
}
bool cmp2(node x,node y) {return x.out > y.out;
}
void dfs(int u,int fa) {dp[u] = 0, sum[u] = a[u];vector<node> x, y;for (auto it : g[u]) {int v = it.fir, w = it.sec;if (v == fa) continue;dfs(v,u);sum[u] += sum[v] - 2ll * w;node t;if (w <= dp[v] + sum[v])t = node(w + dp[v],dp[v] + sum[v] - w);elset = node(2ll * w - sum[v],0);if (t.in <= t.out)x.push_back(t);elsey.push_back(t);}sort(x.begin(),x.end(),cmp1);sort(y.begin(),y.end(),cmp2);ll cur = a[u];for (auto it : x) {if (it.in > cur) {dp[u] += it.in - cur;cur = it.in;}cur = cur - it.in + it.out;}for (auto it : y) {if (it.in > cur) {dp[u] += it.in - cur;cur = it.in;}cur = cur - it.in + it.out;}
}
int main() {scanf("%d",&t);while (t--) {scanf("%d",&n);for (int i = 1; i <= n; i++)g[i].clear();for (int i = 1; i <= n; i++)scanf("%d",&a[i]);for (int i = 1; i < n; i++) {int u, v, w;scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);g[u].push_back(pii(v,w));g[v].push_back(pii(u,w));}dfs(1,0);printf("%lld\n",dp[1]);}return 0;
}

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