数论基本定理及应用（二）

数论基本定理

一个数 aa 想成为另外一个数 bb 的因子，能整除另一个数，该 a≤b/2a\leq b/2，因为 bb 的因子如果有的话，它最大为 b/2b/2（比如对于 100 而言，100 的因子不可能大于 50 ）
但对于判断一个数是否为素数，只需要遍历到 a√\sqrt a 即可，

100=1*100,2*50,4*25,10*10
互质的两个数不必都是质数，比如 9191 与 10001000
两个质数之间，必然互质；

10≡1(mod3)⇓10n≡1(mod3)⇓10n−1≡0(mod3)

10\equiv 1\quad(\mathrm{mod}\; 3)\\ \Downarrow\\ 10^n\equiv 1\quad (\mathrm{mod}\;3)\\ \Downarrow\\ 10^n-1\equiv 0\quad (\mathrm{mod}\;3)

用的是幂运算性质，也即如果 a≡b(modm)⇒an≡bn(modm)a\equiv b \quad(\mathrm{mod}\;m)⇒ a^n\equiv b^n\quad(\mathrm{mod}\;m)

m|a,m|b⇒m|(a±b)

m|a,\;m|b\Rightarrow\;m|(a\pm b)

证明：

m|a⇒a=k1mm|b⇒b=k2m⇓a±b=(k1±k2)m⇒m|(a±b)

m|a\Rightarrow a=k_1m\\ m|b\Rightarrow b=k_2m\\ \Downarrow\\ a\pm b=(k_1\pm k_2)m\Rightarrow m|(a\pm b)

周期性

imod4i \mod 4 的值显然是以 4 为周期在循环（随着 ii 的递增），
imod7i\mod 7 的值显然是以 77 为周期在循环。

质数（prime）

如果两个正整数的最大公约数为1，我们就说这两个数是互质的。这是一个非常重要的概念，如果 aa 和 bb 互质，

意味着分数 a/ba/b 已经不能再约分了，
意味着 a×ba\times b 的棋盘的对角线不会经过中间的任何交叉点
意味着循环长度分别为 aa 和 bb 的两个周期性事件一同上演，则新的循环长度最短为 a×ba\times b（最小公倍数）.

对 a×ba\times b 构成的循环我们稍作解释，举些例子，假如有 1路和 2路两种公交车，其中1路车每6分钟一班，2路车每8分钟一班。如果某一时刻也即公交公司的首发时间，两趟车同时出发，那么下一次再遇到（周期性）这样的两车齐发的事情是多少分钟以后？6×8=486\times 8=48，这是一个正确答案。不过实际上在第24分钟就已经出现了两车同时出发（如果是两首歌的话就是出现“和声”）的情况了，此时1路车正好是第4班，而2路车是第三班。但如果把例子中的6分钟和8分钟分别改成4分钟和7分钟，则必须到第 4×7=284\times 7=28分钟后才有重复，循环现象不会提前发生。

究其原因在数学上的最小公倍数，也即，对于两个数，其乘积一定是它们的一个公倍数，但若这两个数互质，则它们的乘积一定是它们的最小公倍数。

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