【CCCC】L3-023 计算图 (30分)，dfs搜索+偏导数计算

problem

L3-023 计算图 (30分)
“计算图”（computational graph）是现代深度学习系统的基础执行引擎，提供了一种表示任意数学表达式的方法，例如用有向无环图表示的神经网络。图中的节点表示基本操作或输入变量，边表示节点之间的中间值的依赖性。例如，下图就是一个函数 f(x
1
,x
2
)=lnx
1
+x
1
x
2
−sinx
2
的计算图。

figure.png

现在给定一个计算图，请你根据所有输入变量计算函数值及其偏导数（即梯度）。例如，给定输入x
1
=2,x
2
=5，上述计算图获得函数值 f(2,5)=ln(2)+2×5−sin(5)=11.652；并且根据微分链式法则，上图得到的梯度 ∇f=[∂f/∂x
1
,∂f/∂x
2
]=[1/x
1
+x
2
,x
1
−cosx
2
]=[5.500,1.716]。

知道你已经把微积分忘了，所以这里只要求你处理几个简单的算子：加法、减法、乘法、指数（e
x
，即编程语言中的 exp(x) 函数）、对数（lnx，即编程语言中的 log(x) 函数）和正弦函数（sinx，即编程语言中的 sin(x) 函数）。

友情提醒：

常数的导数是 0；x 的导数是 1；e
x
的导数还是 e
x
；lnx 的导数是 1/x；sinx 的导数是 cosx。
回顾一下什么是偏导数：在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定。在上面的例子中，当我们对 x
1
求偏导数 ∂f/∂x
1
时，就将 x
2
当成常数，所以得到 lnx
1
的导数是 1/x
1
，x
1
x
2
的导数是 x
2
，sinx
2
的导数是 0。
回顾一下链式法则：复合函数的导数是构成复合这有限个函数在相应点的导数的乘积，即若有 u=f(y)，y=g(x)，则 du/dx=du/dy⋅dy/dx。例如对 sin(lnx) 求导，就得到 cos(lnx)⋅(1/x)。
如果你注意观察，可以发现在计算图中，计算函数值是一个从左向右进行的计算，而计算偏导数则正好相反。

输入格式：
输入在第一行给出正整数 N（≤5×10
4
），为计算图中的顶点数。

以下 N 行，第 i 行给出第 i 个顶点的信息，其中 i=0,1,⋯,N−1。第一个值是顶点的类型编号，分别为：

0 代表输入变量
1 代表加法，对应 x
1
+x
2

2 代表减法，对应 x
1
−x
2

3 代表乘法，对应 x
1
×x
2

4 代表指数，对应 e
x

5 代表对数，对应 lnx
6 代表正弦函数，对应 sinx
对于输入变量，后面会跟它的双精度浮点数值；对于单目算子，后面会跟它对应的单个变量的顶点编号（编号从 0 开始）；对于双目算子，后面会跟它对应两个变量的顶点编号。

题目保证只有一个输出顶点（即没有出边的顶点，例如上图最右边的 -），且计算过程不会超过双精度浮点数的计算精度范围。

输出格式：
首先在第一行输出给定计算图的函数值。在第二行顺序输出函数对于每个变量的偏导数的值，其间以一个空格分隔，行首尾不得有多余空格。偏导数的输出顺序与输入变量的出现顺序相同。输出小数点后 3 位。

输入样例：
7
0 2.0
0 5.0
5 0
3 0 1
6 1
1 2 3
2 5 4
输出样例：
11.652
5.500 1.716

给出一张图（AOV网？）
计算汇点的值

solution

考虑直接搜索+记忆化
结果节点编号不一定为n-1，否则会WA3,4,5
微积分没学，计算公式不太会，参考了一下别人的

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 5e4+10;struct node{int op, left, right; //运算符和数值double val; //当前节点的值int post;  //后继节点的
}a[maxn];
map<int,map<int,map<int,double>>>f;//记忆化数组//第一个参数为结点，第二个参数决定是否求导，第三个参数是对谁求导
double calc(int nd, int key, int p){if(f[nd][key][p])return f[nd][key][p];int id = a[nd].op;if(id==0)return f[nd][key][p] = (key == 0 ? a[nd].val : (nd == p ? 1 : 0)); if(id==1)return f[nd][key][p] = calc(a[nd].left, key, p) + calc(a[nd].right, key, p); if(id==2)return f[nd][key][p]= calc(a[nd].left, key, p) - calc(a[nd].right, key, p); if(id==3)return f[nd][key][p] = (key ? calc(a[nd].left, key, p) * calc(a[nd].right, 0, p) + calc(a[nd].left, 0, p) * calc(a[nd].right, key, p) : calc(a[nd].left, key, p) * calc(a[nd].right, key, p)); if(id==4)return f[nd][key][p]=(key ? exp(calc(a[nd].left, 0, p)) * calc(a[nd].left, key, p) : exp(calc(a[nd].left, key, p)));if(id==5)return f[nd][key][p] = (key ? 1 / (calc(a[nd].left, 0, p)) * (calc(a[nd].left, key, p)) : log(calc(a[nd].left, key, p)));if(id==6)return f[nd][key][p] = (key ? cos(calc(a[nd].left, 0, p)) * calc(a[nd].left, key, p) : sin(calc(a[nd].left, key, p)));
}int main(){int n;  cin>>n;for(int i = 0; i < n; i++){cin>>a[i].op;if(a[i].op==0){cin>>a[i].val;}else if(a[i].op<=3){cin>>a[i].left>>a[i].right;a[a[i].left].post = 1;a[a[i].right].post = 1;}else{cin>>a[i].left;a[a[i].left].post = 1;}}int ed = 0, ok=0;while(a[ed].post)ed++;printf("%0.3lf\n",calc(ed,0,-1));for(int i = 0; i < n; i++){if(a[i].op==0){if(ok)cout<<" ";printf("%0.3lf",calc(ed,1,i));ok = 1;}}return 0;
}