$$\int_0^{nh}x(x-h)\cdots (x-nh)dx=h^{n+2}\int_0^nx(x-1)\cdots (x-n)dx$$
我们来探究\begin{align*}
\int_0^{nh}x(x-h)\cdots (x-nh)dx
\end{align*}
和
\begin{align*}
\int_0^nx(x-1)\cdots (x-n)dx
\end{align*}
的关系.
我们先来看
\begin{align*}
x(x-h)\cdots (x-nh)
\end{align*}
中$x^i$的系数$\alpha_i(h)$和
\begin{align*}
x(x-1)\cdots (x-n)
\end{align*}
中$x^i$的系数$\alpha_i(1)$的关系.显然,
\begin{align*}
\alpha_i(h)=h^{n+1-i}\alpha_i(1)
\end{align*}
我们知道,
\begin{align*}
x(x-1)\cdots (x-n)
\end{align*}
的原函数可以写成
\begin{align*}
\beta_{n+2}x^{n+2}+\beta_{n+1}x^{n+1}+\cdots+\beta_2x^2=\sum_{i=1}^{n+1} \beta_{i+1}x^{i+1}
\end{align*}
的形式.因此
\begin{align*}
x(x-h)\cdots (x-nh)
\end{align*}
的原函数可以写成
\begin{align*}
\sum_{i=1}^{n+1}h^{n+1-i}\beta_{i+1}x^{i+1}
\end{align*}
根据牛顿-莱布尼兹公式,我们知道,
\begin{align*}
\int_0^nx(x-1)\cdots (x-n)dx=\sum_{i=1}^{n+1}\beta_{i+1}n^{i+1}
\end{align*}
可见,
\begin{align*}
\int_0^{nh}x(x-h)\cdots
(x-nh)dx=\sum_{i=1}^{n+1}h^{n+1-i}\beta_{i+1}(nh)^{i+1}=h^{n+2}\sum_{i=1}^{n+1}\beta_{i+1}n^{i+1}=h^{n+2}\int_0^nx(x-1)\cdots (x-n)dx
\end{align*}
转载于:https://www.cnblogs.com/yeluqing/archive/2013/01/15/3827542.html
最新文章
- node 常见的一些系统问题
- 类的加载顺序和静态代码块和匿名代码块的区别
- 使用泛型前 VS 使用泛型后
- spark集群配置以及java操作spark小demo
- 【剑指offer】面试题22:链表中倒数第 K 个节点
- 你的“不着急”,最后都是“来不及”
- C++ vector类型要点总结(以及各种algorithm算法函数)
- centos7 mysql 冲突_CentOS7安装MySQL冲突和问题解决小结
- 外设键盘_记得那个被称为‘顶级外设’的国产品牌吗,现在推出这样一把键盘...
- 计算机的工作原理是二进制原理吗,电子计算机的工作原理基于二进制。()
- 用C++,调用浏览器打开一个网页
- Ruffer Investment共持有略高于3%的比特币敞口
- 时隔25年重访 Linus:流量时代的“技术大师”
- C++11特性补充笔记1
- cisco学习笔记(6)-acl
- python字典添加列表,将Python字典/列表插入到SQL数据库中最有效的方法是什么?...
- Cadence Orcad Capture定时保存功能介绍图文视频教程
- 《深度学习》读后感作文3100字
- 解决IP被封的问题几种方法
- 干货 | 产品助理入门攻略(一枚入行3年的PM内心独白)