R语言模型中的加总偏误与内生性:一种数值模拟方法

引言本文中主题是内生性，它可能严重偏向回归估计。我将专门模拟由遗漏变量引起的内生性。在本系列的后续文章中，我将模拟其他规范问题，如异方差性，多重共线性和对撞机偏差。

数据生成过程

考虑一些结果变量的数据生成过程（DGP） $Y$ ：

$Y = a+\beta x+c z + \epsilon_1$

$\epsilon_1 \sim N(0,\sigma^{2})$

对于该模拟，我设置参数值 $a$ ， $\beta$ 以及 $c$ 与模拟正相关的独立变量， $x$ 和 $z$ （N = 500）。

五

# simulation parameters

set.seed(144);

a=50; b=.5; c=.01;

x=rnorm(n=ss,mean=1000,sd=50);

z=d+h*x+rnorm(ss,0,10)

模拟

模拟将估计下面的两个模型。第一个模型是正确的，它包含实际DGP中的所有术语。但是，第二个模型省略了DGP中存在的变量。相反，变量被误入了误差项 $\epsilon_1$ 。

$(1)\thinspace Y = a+\beta x+c z + \epsilon_1$

$(2) \thinspace Y = a+\beta x + \epsilon_1$

第二个模型将产生一个有偏差的估计 $\beta$ 。差异也会有偏差。这是因为它 $x$ 是内生的，这是一种说它与错误术语相关的奇特方式 $\epsilon_1$ 。由于 $cor(x,z)>0$ 和 $\epsilon_1=\epsilon + cz$ ，然后 $cor(x,\epsilon_1)>0$ 。为了说明这一点，我在下面进行了5000次迭代的模拟。对于每次迭代，我 $Y$ 使用DGP 构造结果变量。然后我运行回归估计 $\beta$ ，首先是模型1，然后是模型2。

五

sim=function(endog){

e=rnorm(n=ss,mean=0,sd=10)

# Select data generation process

if(endog==TRUE){ fit lm(y~x) }else{ fit=lm(y~x+z)}

return(fit$coefficients)

}

sim_results_endog=t(replicate(trials,sim(endog=TRUE)))

仿真结果该仿真产生两种不同的采样分布 $\beta$ 。请注意，我已将true值设置为 $\beta=.5$ 。如果 $z$ 不省略，则模拟产生绿色采样分布，以真实值为中心。所有模拟的平均值为0.4998。当 $z$ 被省略，仿真得到的红色采样分布，围绕0.5895居中。它偏离.5895的真实值。此外，偏差采样分布的方差远小于周围的真实方差 $\beta$ 。这会影响对真实参数执行任何有意义推断的能力。

$\beta$ 可以通过分析得出。考虑在模型1中（如上所述）， $x$ 并 $z$ 通过以下方式相关：

$(3)\thinspace z = d+hx+\epsilon_2$

$z$ 用等式3 代入等式1并重新排序：

$Y = a+\beta x+c (d+hx+\epsilon_2) + \epsilon_1$

$(4)\thinspace Y = (a+cd)+(\beta+ch) x + (\epsilon_1+c\epsilon_2)$

省略变量时 $z$ ，实际上是估计的等式4。可以看出， $\beta$ 数量有偏差 $ch$ 。在这种情况下，由于 $x$ 并且 $z$ 通过构造正相关并且它们的斜率系数是正的，所以偏差将是正的。根据模拟的参数，应该是“真实的”偏差 $ch=.09$ 。这是偏差的分布，它以.0895为中心，非常接近真实的偏差值。

上述推导还可以让我们确定从知道的相关偏差的方向 $x$ 和 $z$ 以及的符号 $c$ （的真局部效果 $z$ 上 $y$ ）。如果两者都是相同的符号，那么估计值 $\beta$ 会有偏见。如果符号不同，则估计值 $\beta$ 将向下偏移。结论上面的案例很一般，但有特殊的应用。例如，如果我们认为个人的收入是教育年限和工作年经验的函数，那么省略一个变量将偏向另一个变量的斜率估计。

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