堆（Heaps）

我们想要这样一种数据结构，他可以进行插入和删除，但删除的话，规定每次删除的都是所有元素中最小的那一个元素。这可以利用数组和链表实现，但最好的是利用二叉树实现。如果用二叉搜索树的话删除太麻烦了，下面介绍一种堆的数据结构。

堆需要满足的性质

结构性质

引入完全二叉树的定义

若设二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。

完全二叉树可以很好的用数组来表示

含有N个节点的完全二叉树，可以使用一个大小为N+1的数组BT来存储。注意这里BT[0]不用来存储。

用上面这种方法表示有很多很有用的性质:

下标为 i 的节点的父节点下标为 i/2
下标为 i 的节点的左儿子下标为 2*i
下标为 i 的节点的右儿子下标为 2*i+1

BT[0]是用来做什么的？在进行一些堆的操作时有用，后面有说。

堆顺序的性质

最小堆:对于每一个节点，它都比左右两个节点的值小；或者说，节点比左右两个节点的都小，并且左右两棵子树都是堆。
按照这样的定义，我们就可以知道树的根节点一定是最小的元素，每次删除只需要取BT[1]就行了。
类似的我们也可得到一种最大堆，即对于每一个节点，它都比左右两个节点的值都大。这样根节点存的一定是值最大的元素。

堆的操作

插入

我们想向一个堆中插入14，一开始14放在数组的最后面，也就是左图的位置。很显然这里就不满足堆的性质。我们需要对14进行调整。注意，调整的话只需要对从根节点到14节点这一条路径进行调整就可以了。原来这条路径值为 13-21-31-14，我们将14向上调整到合适的位置变为 13-14-21-31，此时便满足了堆的性质。

//i表示14应该放的位置，一开始在++H->Size处
//每次将X与位置i处的父节点的值H->Elements[i/2]做比较
//父节点的值比它大，就将值相应下移，
for ( i = ++H->Size; H->Elements[ i / 2 ] > X; i /= 2 )H->Elements[ i ] = H->Elements[ i / 2 ];
H->Elements[ i ] = X;

我们这里考虑 i = 2 时的情形，
i = 2时，判断 H->Elements[1] > X ? 如果此时H->Element[1]仍然小于X,X应该被放在i=1即根节点位置。但是根据循环还会进行判断H->Elements[0] >X? 这时候就要用到我们前面说的下标0处的元素值了。我们将ELements[0]= MinData.将其预设为一个最小的元素，那么H->Elements[0] >X一定为false，循环就一定会在i=1处跳出。
我们将Element[0]称作标记(sentinel)，这样有效避免了每次循环都要判断一次，节省了一些时间
T(N)=O(logN)T (N) = O ( log N )T(N)=O(logN)

删除元素

ElementType DeleteMin( PriorityQueue H )
{int i, Child;ElementType MinElement, LastElement;MinElement = H->Elements[ 1 ]; LastElement = H->Elements[ H->Size-- ]; //存储堆的最后一个元素，并将堆大小减1for ( i = 1; i * 2 <= H->Size; i = Child ) { //i从根节点开始并且i不是叶节点Child = i * 2;if (Child != H->Size && H->Elements[Child+1] < H>Elements[Child])Child++;  //如果有右儿子的话，判断左右儿子哪个小选哪个if ( LastElement > H->Elements[ Child ] ) H->Elements[ i ] = H->Elements[ Child ];//给最后一个元素找一个合适的位置放一下else break; }H->Elements[ i ] = LastElement;return MinElement;
}

PrecolateUp

DecreaseKey(P,▲,H),我们想将堆中位置P的值减小到▲。如果将这个值减小，那么要满足堆的性质就必须将它向上移动。所以有如下的上溯操作

void Heap::PercolateUp(int holeIndex, int adjustValue)
{int i; //记录要上溯到的位置   for (i = holeIndex; Elements[i / 2] > adjustValue; i /= 2)   //i从Size开始，只要ELements[i] > X, 就让i/=2Elements[i] = Elements[i / 2];            //同时将i处的值用i/2处代替，相当于整体下移Elements[i] = adjustValue;   //最后跳出时，找到了第一个Elements[i/2] <= X,
}

这样对于上面的插入操作可以写成
先将元素放在最后 Elements[++Size] = X;
然后进行上溯操作PercolateUp(Size, Elements[Size]);

PercolateDown

IncreaseKey(P,▲,H),将位置P的值增大到▲。如果将一个位置的值增大了，为了满足堆的性质，就要将这个值往下移动。所以我们有如下的下溯操作

//将holeindex处的数值增大为adjustValue，并进行下溯
void Heap::PercolateDown(int holeIndex, int adjustValue)
{int child, i;    //i就是想要放的位置，满足了条件就跳出，说明找到了ifor (i = holeIndex; i * 2 <= Size; i = child)    //i从根节点开始，直到2*i > Size停止{child = i * 2;     //默认为左节点，偶数一定是左节点//从左右儿子中选择较小的那一个，要保证child+1存在if (child != Size && Elements[child + 1] < Elements[child]){child++;}//开始比较，类似PercolateUpif (adjustValue > Elements[child])Elements[i] = Elements[child];  //相应上移，空出holeelsebreak;    //找到位置就跳出}Elements[i] = adjustValue;
}

那么堆的删除操作可以写为
记录下最后一个元素值，同时Size减1: LastElement = Elements[Size–];
假定已经将LastElement的值放在了root位置，需要对其进行下溯
PercolateDown(1, LastElement);

建堆与调堆

依次读入一串数据，如何将他们建成堆？如何将N个key放入空的堆中？

void Heap::BuildHeap(vector<int> key)
{//将元素一个一个插入到heap中 , 每次的插入都保证是一个heapfor (int i = 0; i < key.size();i++)this->PushHeap(key[i]);
}

这称作自顶向下的建堆方式，第k层的节点个数有2^k 个，第k层的一个节点插入后，调堆需要比较k次。n个元素的层数k为log₂n那么总的次数为Σk2^k =O(nlog₂n)

如果一个数组中有N个key，如何将这个数组调整成堆？这里是调整成堆与上一个不同,或者可以叫自底向上的建堆。
方法是:从下标Size/2处开始对节点进行下溯操作，直到根节点1.为什么从Size/2开始，因为叶节点已经在最下面了，不用进行下溯。
同时注意 i 不能从1变大到size/2，必须从Size/2 减小到1。因为是从叶节点往上使每一路的顺序正确。

    for (int i = this->Size / 2; i > 0;i--){this->PercolateDown(i, Elements[i]);  //由于是对每个节点进行下溯调整，所以叶节点值不用调整的，只需调整 i<Size/2的部分}

这种方式，第i层最坏情况下有2ⁱ 个节点（满二叉树），第i层的节点最坏情况要移动n-i次(n表示总层数)。所以所需时间为T=Σ(2^k *(n-k)) k from 1 to n ；如何计算这个等式，发现这个等式相当于计算高度为h的完全二叉树的所有节点的高度和
高度为h的完全二叉树有2^h+1-1个节点，所有节点的高度的和为2^h+1-1-(h+1),所以时间按复杂度约为O(N)。

自底向上建堆，由于底部节点多，所需比较次数反而少，所以所需时间更少为O(N),

堆的应用

找出N个元素中第K大的元素。
将N个元素调成最大堆，时间复杂度为O(N)，然后，进行k次删除，获得的就是第K大的元素，总的时间复杂度为O(N+K).比排序好再取快多了。

d-Heaps

All nodes have d children

不能将d设的很大，因为删除时，寻找最小或最大儿子要比较的次数将增多
DeleteMin will take d - 1 comparisons to find the smallest child. Hence the total time complexity would be O(dlogdN)O(d log_d N)O(dlogdN).

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