【BZOJ1880】[Sdoi2009]Elaxia的路线（最短路）

题面

BZOJ
洛谷

题解

假装我们知道了任意两点间的最短路，那么我们怎么求解答案呢？
不难发现公共路径一定是一段连续的路径（如果不连续那么显然可以把中间分开的那段变成一样路径）。
这样子我们只需要\(O(n^2)\)枚举这个路径的起点和终点\(check\)一下就可以知道答案了。
然而并没有办法求任意两点之间的最短路，因为这样子是\(O(n^3)\)的。并不要认为对于每个点跑一遍最短路就行了，\(SPFA\)不说了，它死了。\(Dijkstra\)的复杂度是\(O((n+m)logm)\)的，如果\(m=n^2\)还不如\(Floyd\)。
大概的代码如下，我是对于每一个点跑了一遍\(Dij\)（雾

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define MAX 1550
#define pi pair<int,int>
#define mp make_pair
#define fr first
#define sd second
inline int read()
{int x=0;bool t=false;char ch=getchar();while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();if(ch=='-')t=true,ch=getchar();while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();return t?-x:x;
}
struct Line{int v,next,w;}e[MAX*MAX*2];
int h[MAX],cnt=1;
inline void Add(int u,int v,int w){e[cnt]=(Line){v,h[u],w};h[u]=cnt++;}
int dis[MAX][MAX];
int n,m,S1,S2,T1,T2,ans;
bool vis[MAX];
void SPFA(int S,int *dis)
{for(int i=1;i<=n;++i)dis[i]=1e9,vis[i]=false;priority_queue<pi,vector<pi>,greater<pi> > Q;Q.push(mp(0,S));dis[S]=0;while(!Q.empty()){pi u=Q.top();Q.pop();if(vis[u.sd])continue;vis[u.sd]=true;for(int i=h[u.sd];i;i=e[i].next)if(dis[e[i].v]>u.fr+e[i].w){dis[e[i].v]=u.fr+e[i].w;Q.push(mp(dis[e[i].v],e[i].v));}}
}
int Dis1(int i,int j){return dis[S1][i]+dis[i][j]+dis[j][T1];}
int Dis2(int i,int j){return dis[S2][i]+dis[i][j]+dis[j][T2];}
int main()
{n=read();m=read();S1=read(),T1=read(),S2=read(),T2=read();for(int i=1;i<=m;++i){int u=read(),v=read(),w=read();Add(u,v,w);Add(v,u,w);}for(int i=1;i<=n;++i)SPFA(i,dis[i]);for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=n;++j)if(i!=j){if(Dis1(i,j)>dis[S1][T1]&&Dis1(j,i)>dis[S1][T1])continue;if(Dis2(i,j)>dis[S2][T2]&&Dis2(j,i)>dis[S2][T2])continue;ans=max(ans,dis[i][j]);}printf("%d\n",ans);return 0;
}

首先，对于钦定的起点，我们到达终点一定是沿着最短路径\(DAG\)移动，那么我们考虑对于起点构建最短路径\(DAG\)，将几个\(DAG\)重叠之后显然是要求的是\(S1\rightarrow T1\)的一条路径上的最长的、在两个最短路径\(DAG\)中都出现过的链。
那么我们把同时出现在两个\(DAG\)中的边全部拿出来建图，跑一个\(DAG\)上最长链就好了。
我代码写的有点冗长。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define MAX 1550
#define pi pair<int,int>
#define mp make_pair
#define fr first
#define sd second
inline int read()
{int x=0;bool t=false;char ch=getchar();while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();if(ch=='-')t=true,ch=getchar();while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();return t?-x:x;
}
struct Line{int v,next,w;}e[1000000];
int h[MAX],cnt=2,dg[MAX];
inline void Add(int u,int v,int w){e[cnt]=(Line){v,h[u],w};h[u]=cnt++;}
vector<int> E[MAX],W[MAX];
int dis[MAX][MAX];
int n,m,S1,S2,T1,T2,ans;
bool vis[MAX];
void SPFA_heap(int S,int *dis)
{for(int i=1;i<=n;++i)dis[i]=1e9,vis[i]=false;priority_queue<pi,vector<pi>,greater<pi> > Q;Q.push(mp(0,S));dis[S]=0;while(!Q.empty()){pi u=Q.top();Q.pop();if(vis[u.sd])continue;vis[u.sd]=true;for(int i=h[u.sd];i;i=e[i].next)if(dis[e[i].v]>u.fr+e[i].w){dis[e[i].v]=u.fr+e[i].w;Q.push(mp(dis[e[i].v],e[i].v));}}
}
int S[MAX],f[MAX],top;
void Topsort()
{queue<int> Q;for(int i=1;i<=n;++i)if(!dg[i])Q.push(i);while(!Q.empty()){int u=Q.front();Q.pop();S[++top]=u;for(int i=0,l=E[u].size();i<l;++i)if(!--dg[E[u][i]])Q.push(E[u][i]);}for(int i=top;i;--i)for(int j=0,l=E[S[i]].size();j<l;++j)f[S[i]]=max(f[S[i]],f[E[S[i]][j]]+W[S[i]][j]);for(int i=1;i<=top;++i)ans=max(ans,f[S[i]]);
}
int main()
{n=read();m=read();S1=read(),T1=read(),S2=read(),T2=read();for(int i=1;i<=m;++i){int u=read(),v=read(),w=read();Add(u,v,w);Add(v,u,w);}SPFA_heap(S1,dis[S1]);SPFA_heap(T1,dis[T1]);SPFA_heap(S2,dis[S2]);SPFA_heap(T2,dis[T2]);for(int u=1;u<=n;++u)for(int i=h[u];i;i=e[i].next)if(i&1){int u=e[i].v,v=e[i^1].v;if(min(dis[S1][u]+dis[T1][v]+e[i].w,dis[S1][v]+dis[T1][u]+e[i].w)>dis[S1][T1])continue;if(min(dis[S2][u]+dis[T2][v]+e[i].w,dis[S2][v]+dis[T2][u]+e[i].w)>dis[S2][T2])continue;if(dis[S1][u]+dis[T1][v]+e[i].w==dis[S1][T1])E[u].push_back(v),W[u].push_back(e[i].w),dg[v]+=1;else E[v].push_back(u),W[v].push_back(e[i].w),dg[u]+=1;}Topsort();printf("%d\n",ans);return 0;
}