「代码随想录」关于多重背包,你该了解这些!
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之前我们已经体统的讲解了01背包和完全背包,如果没有看过的录友,建议先把如下三篇文章仔细阅读一波。
- 动态规划:关于01背包问题,你该了解这些!
- 动态规划:关于01背包问题,你该了解这些!(滚动数组)
- 动态规划:关于完全背包,你该了解这些!
这次我们再来说一说多重背包
多重背包
对于多重背包,我在力扣上还没发现对应的题目,所以这里就做一下简单介绍,大家大概了解一下。
有N种物品和一个容量为V 的背包。第i种物品最多有Mi件可用,每件耗费的空间是Ci ,价值是Wi 。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的耗费的空间 总和不超过背包容量,且价值总和最大。
多重背包和01背包是非常像的, 为什么和01背包像呢?
每件物品最多有Mi件可用,把Mi件摊开,其实就是一个01背包问题了。
例如:
背包最大重量为10。
物品为:
重量 | 价值 | 数量 | |
---|---|---|---|
物品0 | 1 | 15 | 2 |
物品1 | 3 | 20 | 3 |
物品2 | 4 | 30 | 2 |
问背包能背的物品最大价值是多少?
和如下情况有区别么?
重量 | 价值 | 数量 | |
---|---|---|---|
物品0 | 1 | 15 | 1 |
物品0 | 1 | 15 | 1 |
物品1 | 3 | 20 | 1 |
物品1 | 3 | 20 | 1 |
物品1 | 3 | 20 | 1 |
物品2 | 4 | 30 | 1 |
物品2 | 4 | 30 | 1 |
毫无区别,这就转成了一个01背包问题了,且每个物品只用一次。
这种方式来实现多重背包的代码如下:
void test_multi_pack() {vector<int> weight = {1, 3, 4};vector<int> value = {15, 20, 30};vector<int> nums = {2, 3, 2};int bagWeight = 10;for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {while (nums[i] > 1) { // nums[i]保留到1,把其他物品都展开weight.push_back(weight[i]);value.push_back(value[i]);nums[i]--;}}vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}for (int j = 0; j <= bagWeight; j++) {cout << dp[j] << " ";}cout << endl;}cout << dp[bagWeight] << endl;}
int main() {test_multi_pack();
}
- 时间复杂度:O(m * n * k) m:物品种类个数,n背包容量,k单类物品数量
也有另一种实现方式,就是把每种商品遍历的个数放在01背包里面在遍历一遍。
代码如下:(详看注释)
void test_multi_pack() {vector<int> weight = {1, 3, 4};vector<int> value = {15, 20, 30};vector<int> nums = {2, 3, 2};int bagWeight = 10;vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量// 以上为01背包,然后加一个遍历个数for (int k = 1; k <= nums[i] && (j - k * weight[i]) >= 0; k++) { // 遍历个数dp[j] = max(dp[j], dp[j - k * weight[i]] + k * value[i]);}}// 打印一下dp数组for (int j = 0; j <= bagWeight; j++) {cout << dp[j] << " ";}cout << endl;}cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {test_multi_pack();
}
- 时间复杂度:O(m * n * k) m:物品种类个数,n背包容量,k单类物品数量
从代码里可以看出是01背包里面在加一个for循环遍历一个每种商品的数量。 和01背包还是如出一辙的。
当然还有那种二进制优化的方法,其实就是把每种物品的数量,打包成一个个独立的包。
和以上在循环遍历上有所不同,因为是分拆为各个包最后可以组成一个完整背包,具体原理我就不做过多解释了,大家了解一下就行,面试的话基本不会考完这个深度了,感兴趣可以自己深入研究一波。
总结
多重背包在面试中基本不会出现,力扣上也没有对应的题目,大家对多重背包的掌握程度知道它是一种01背包,并能在01背包的基础上写出对应代码就可以了。
至于背包九讲里面还有混合背包,二维费用背包,分组背包等等这些,大家感兴趣可以自己去学习学习,这里也不做介绍了,面试也不会考。
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