numpy基础(part11)--特征值与奇异值分解

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文章目录

特征值和特征向量
- 案例(求矩阵特征值和特征向量)
奇异值分解
- 举个例子1(不设置参数full_matrices = False)
- 举个例子2(设置参数full_matrices = False, 即不要求V为一个方阵)

特征值和特征向量

对于n阶方阵A，如果存在数a和非零n维列向量x，使得Ax=ax，则称a是矩阵A的一个特征值，x是矩阵A属于特征值a的特征向量.

语法

#已知n阶方阵A， 求特征值与特征数组
eigvals, eigvecs = np.linalg.eig(A)
# eigvals: 特征值数组
# eigvecs: 特征向量数组 #已知特征值与特征向量，求原始方阵A
S = np.mat(eigvecs) * np.mat(np.diag(eigvals)) * np.mat(eigvecs).I

备注：np.diag(一维数组),表示将这个一维数组作为对角元素，组成矩阵。

案例(求矩阵特征值和特征向量)

代码：

import numpy as npA = np.mat('1 3 5;2 1 6;1 1 2')
print(A)#提取特征值和特征向量
eigvals, eigvecs = np.linalg.eig(A)
print(eigvals, '--eigvals')
print(eigvecs, '--eigvecs')#逆向推导原矩阵
print(np.mat(eigvecs) * \np.mat(np.diag(eigvals)) * np.mat(eigvecs).I)

结果：

[[1 3 5][2 1 6][1 1 2]]
[-1.14005494  6.14005494 -1.        ] --eigvals
[[-0.91698775  0.69142632 -0.94280904][ 0.35680076  0.64617623  0.23570226][ 0.17840038  0.32308811  0.23570226]] --eigvecs
[[ 1.  3.  5.][ 2.  1.  6.][ 1.  1.  2.]]

奇异值分解

有一个矩阵M，可以分解为3个矩阵U、S、V，使得U x S x V等于M。U与V都是正交矩阵（乘以自身的转置矩阵结果为单位矩阵）。S矩阵主对角线上的元素称为矩阵M的奇异值，其它元素均为0。

举个例子1(不设置参数full_matrices = False)

我们对矩阵[4, 11, 14; 8, 7, -2]进行奇异值分解。

代码：

结果：

在进行逆向回推原矩阵时，因为此时若对sv作为对角元素，构建对角矩阵，则会构建出22的矩阵，则U为22阶，V为3*3阶，他们不能做矩阵相乘运算，否则会报错：

为了解决这个问题，我们再举个例子。

举个例子2(设置参数full_matrices = False, 即不要求V为一个方阵)

我们再对矩阵[4, 11, 14; 8, 7, -2]进行奇异值分解。

代码：

结果：

逆向回推原矩阵：

结果：

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