Structure from motion 问题

1 问题描述

已知一个图像库，里面有很多从不同角度不同具体拍摄同一物体的照片，求

构建该物体的3D模型
找出这些图像的拍照位置

如下图所示：

2 用数学语言描述问题

输入：一批图像，隐含着许多对应点

输出：

每一个对应点对应的现实世界的3D坐标 $x_i$ 。
所有摄像机的参数 $R_j,t_j$ ,以及可能的 $K_j$ 。

下图可以帮助理解 Structure from motion 问题

这里涉及的目标函数（objective function）: 最小化重投影误差（reprojection error）。

重投影误差如下图所示。

3 解决问题的过程

3.1 详细过程

检测特征

SIFT描述特征

匹配特征，其匹配的详细过程见图像的景深

运用RANSAC算法（详见：图像对齐（image alignment）），求得每一对图像之间的变换矩阵，由于相机的内参和外参未知，这个变换矩阵可以近视等于基本矩阵（fundamental matrix）
将成对的匹配连接起来，形成跨多个图像的匹配的连接链

重构景物，先从两张图像开始，然后依次链接。

3.2 认识重投影误差（reprojection error）

通过重投影误差函数，待求参数公式为：

其中：

M为相机方位个数

N为特征对应点个数

Kj为相机内参

Rj，Tj 为相机的外参

$u^i_j$ 为第 j 张图像，第 i 个特征对应点的横坐标

$v^i_j$ 为第 j 张图像，第 i 个特征对应点的纵坐标

Pi 为世界坐标系中的景物第 i 个特征的坐标

f(*) 为世界坐标系中的景物对应的像素点的横坐标

g(*) 为世界坐标系中的景物对应的像素点的纵坐标

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