2018/11/18

903. Valid Permutations for DI Sequence

问题描述：

We are given S, a length n string of characters from the set {'D', 'I'}. (These letters stand for “decreasing” and “increasing”.)

A valid permutation is a permutation P[0], P[1], ..., P[n] of integers {0, 1, ..., n}, such that for all i:

If S[i] == 'D', then P[i] > P[i+1], and;
If S[i] == 'I', then P[i] < P[i+1].

How many valid permutations are there? Since the answer may be large, return your answer modulo 10^9 + 7.

测试样例：

Example 1:

Input: "DID"
Output: 5
Explanation:
The 5 valid permutations of (0, 1, 2, 3) are:
(1, 0, 3, 2)
(2, 0, 3, 1)
(2, 1, 3, 0)
(3, 0, 2, 1)
(3, 1, 2, 0)

Note:

1 <= S.length <= 200
S consists only of characters from the set {'D', 'I'}.

问题分析：

本题难度为Hard！属于动态规划问题，已给出的函数定义为

class Solution:def numPermsDISequence(self, S):""":type S: str:rtype: int"""

本题可采取动态规划算法求解，思路来源于一个大佬给出了例子，这里首先分析这个例子：
对于上述的测试样例"DID"，求数字{0,1,2,3}组成的序列的排列方式数量；有如下的分析图：

其中dp[i][j]表示从{0,1,2,3}中取i+1个数字时（即排列序列的前i+1个数），第i+1个数为剩余的数字中第j+1小的数字的排列方法数量。括号内为排列方式。

观察上图中的连线，可以总结规律：
当第i个数对应的字符为D时，dp[i+1][j]=dp[i][j+1]+dp[i][j+2]+...+dp[i][n-1-i]；
当第i个数对应的字符为I时，dp[i+1][j]=dp[i][j]+dp[i][j-1]+...+dp[i][0]；
当i=0时，dp[i][j]=1；

分析可以改善代码降低空间复杂度，代码实现如下；

代码实现：

class Solution:def numPermsDISequence(self, S):""":type S: str:rtype: int"""dp = [1] * (len(S) + 1)for c in S:if c == "I":dp = dp[:-1]for i in range(1, len(dp)):dp[i] += dp[i - 1]else:dp = dp[1:]for i in range(len(dp) - 1)[::-1]:dp[i] += dp[i + 1]return dp[0] % (10**9 + 7)

参考思路：[C++/Java/Python] DP Solution O(N^2)

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