数学分析教程第十八章学习感受

含参变量的积分
什么是含参变量的积分？就是被积函数中有1个以上的变量，f(x,u),对其中的一个变量(x)积分以后的结果就不再是常数了，而是另一个变量u的函数Φ(u)。含参变量的积分就是讨论这些函数的性质的。所谓函数的性质，在数学分析中，其实就是讨论连续性、能否求导、能否积分。而由于被积函数积分区间的不同，又分为两类：常义积分和广义积分。
所谓常义积分，就是指f(x,u)对x在[a,b]内做普通的积分。可以证明，Φ(u)有很好的性质：如果f(x,u)连续，那么Φ(u)也连续；如果f及其对u的偏导数连续，那么可以交换对u求导与对x积分的次序；如果f连续，那么再求积分时，也可以交换对x积分和对u积分的次序。当参变量u不仅出现在被积函数f中，也出现在积分限中，也有比较好的结果。
对于含参变量的广义积分，指的是积分限是无穷，或者在区间中有瑕点。那么跟之前讨论反常积分时一样，要先讨论反常积分是否收敛，如果收敛，收敛到1个函数，然后才能讨论这个函数的分析性质。而且，与函数项级数讨论时类似，这里不仅要使用收敛，还要使用一致收敛。一致收敛的判断法还是cauchy收敛原理和wereistrass判别法，对于乘积的情况，有Dirichlet判别法和Able判别法。有了一致收敛的概念，其他的内容就与反常积分比较像了，连续性，求积分，求导都是可以交换次序的。值得注意的是，求积分也分成了两类，一类u求常义积分，另一类是求反常积分。
最后一节讲的是两类特殊的函数β函数和Γ函数。他们都是常用的含参变量的积分。先从只含一个参变量的Γ讲起，先将它的性质，再讲它与β函数的关系，再讲β函数的性质。书中给出的例子，是计算一些过去计算起来不方便的积分，可见积分始终是需要技巧的问题啊！

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