【思维 | 图论 | 高斯消元】所罗门王的宝藏

题目：所罗门王的宝藏

题意：

给定一个n*m的矩阵，请问，这个矩阵能否通过一个零矩阵来通过行或列同时加减某一个数来构造出来。

方法一：

利用题意来找规律

这个规律就是任意两行、两列之间的差值是不变的。

证明：

①、当该行全±K时，其实对该行中，只是改变了该行与其他行的差值。

用符号表示为： i行±K只会对j行的差值发生变化，（j∈[1,n] , i≠j）

②、列证明同上。

如果对于 a[i][j]的元素来说，位于第i行 , 第j列。

在第i行整行进行了变化，还在第j列整列发生变化。这时怎么样分析呢？？？

其实，根据我们推断出来的 ①和②来证明，

这是通过合法的变换得到这个矩阵。

举个例子来阐述吧，有n+m名老师，其中n名老师都是教科目A，而另外的m名老师教的是科目B。n名老师只会教与自己相对应的某一行学生科目A，而m名老师只会教与自己相对应的某一列学生科目B。

老师想知道自己的教学的效果怎么样，他教学不会在自己班来进行比较（因为老师知道每一位学生的资质和能力是不同的，而且都是自己教的没有可比性而言），而会和其他班的同学比较，我们a[i][j]指的是两个科目之和，所以老师相比较的时候不会交叉比较。也就是说，

例如：教导科目A的第i个老师想知道自己的教学效果，会和第i+1个老师的教学效果来比较，但是每一位同学都是不同的科目B的老师教的，所以他会选择相对应的同列学生来比较。（就如我们化学和物理实验中的“控制变量法”）。

方法二：

构造n+m个变量的方程式组，问其是否有解。

n+m个变量中：n个是每行的变化的值，m个事每列的变化的值。

通过上面的格式，行列都有对应的变化元素构造出n*m个未知数的方程组

构造出来这个方程组了，然后求问，是否存在有整数解。

通过高斯消元求行列式的秩，r(B)=r(A)。

思维：

主要参考博客 Brother Dragon

通过观察可以知道，其实整行整列+1/-1其实两行间的差值并无影响。

不过需要一点技巧来判断任意两行或者两列间的差值不变，具体可以看代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e3+100;
int a[N],b[N],c[N];
int visr[N][N],visc[N][N],R[N][N],C[N][N];
int n,m,k,T;
int sub(int a,int b,int t){return a>b?-t:t;
}
int main()
{scanf("%d",&T);while(T--){memset(visc,0,sizeof(visc));memset(visr,0,sizeof(visr));int flag=1;scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);for(int i=0;i<k;i++){scanf("%d%d%d",&a[i],&b[i],&c[i]);}for(int i=0;i<k;i++){for(int j=i+1;j<k;j++){if(!visc[b[i]][b[j]]&&a[i]==a[j]){C[b[i]][b[j]]=sub(b[i],b[j],c[i]-c[j]);visc[b[i]][b[j]]=1;}else if(C[b[i]][b[j]]!=sub(b[i],b[j],c[i]-c[j])&&a[i]==a[j]){flag=0;}if(!visr[a[i]][a[j]]&&b[i]==b[j]){R[a[i]][a[j]]=sub(a[i],a[j],c[i]-c[j]);visr[a[i]][a[j]]=1;}else if(R[a[i]][a[j]]!=sub(a[i],a[j],c[i]-c[j])&&b[i]==b[j]){flag=0;}}}for(int i=1;i<=n;i++) if(visr[i][i]&&R[i][i]) flag=0;for(int i=1;i<=m;i++) if(visc[i][i]&&C[i][i]) flag=0;puts(flag?"Yes":"No");}return 0;
}

图论

主要参考别人大佬的博客

个人认为这位大佬写的很精辟，说得非常详细。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e6+100;
int n,m,k,T,vis[N],head[N],del[N],cnt=0;
typedef struct Edge{int to,next,w;Edge(int To=0,int Next=0,int W=0):to(To),next(Next),w(W){}
}Edge;
Edge e[N];
void add_Edge(int u,int v,int w){e[cnt]=Edge(v,head[u],w);head[u]=cnt++;
}
inline void read (int &X){int x=0,f=0;char ch=0;while(!isdigit(ch)){f|=ch=='-';ch=getchar();}while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();}X=f?-x:x;
}
bool bfs(int S){queue<int>q;q.push(S);vis[S]=1;while(!q.empty()){int u=q.front();q.pop();for(int i=head[u];~i;i=e[i].next){int v=e[i].to,w=e[i].w;if(vis[v]&&del[u]+del[v]!=w){return false;}else if(!vis[v]){del[v]=w-del[u];vis[v]=1;q.push(v);}}}return true;
}
int main()
{read(T);while(T--){cnt=0;memset(head,-1,sizeof(head));memset(vis,0,sizeof(vis));read(n),read(m),read(k);int u,v,w;for(int i=0;i<k;i++){read(u),read(v),read(w);add_Edge(u,v+n,w);add_Edge(v+n,u,w);}bool flag=true;for(int i=1;i<=n+m;i++){if(!vis[i]) flag&=bfs(i);}puts(flag?"Yes":"No");}return 0;
}

高斯消元

主要参考浩男哥的博客

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=2010;
int a[MAXN][MAXN],x[MAXN];
bool free_x[MAXN];
int gcd(int a,int b){return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
inline int lcm(int a,int b){return a/gcd(a,b)*b;
}
int Gauss(int equ,int var){int i,j,k;int max_r;int col;int ta,tb;int LCM;int temp;int free_x_num;int free_index;for(int i=0; i<=var; i++){x[i]=0;free_x[i]=true;}col=0;for(k = 0; k < equ && col < var; k++,col++){max_r=k;for(i=k+1; i<equ; i++){if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col]))max_r=i;}if(max_r!=k){for(j=k; j<var+1; j++)swap(a[k][j],a[max_r][j]);}if(a[k][col]==0){k--;continue;}for(i=k+1; i<equ; i++) {if(a[i][col]!=0){LCM = lcm(abs(a[i][col]),abs(a[k][col]));ta = LCM/abs(a[i][col]);tb = LCM/abs(a[k][col]);if(a[i][col]*a[k][col]<0)tb=-tb;for(j=col; j<var+1; j++){a[i][j] = a[i][j]*ta-a[k][j]*tb;}}}}for (i = k; i < equ; i++)  {if (a[i][col] != 0)return -1;}if (k < var){return var - k;}for (i = var - 1; i >= 0; i--){temp = a[i][var];for (j = i + 1; j < var; j++){if (a[i][j] != 0)temp -= a[i][j] * x[j];}if (temp % a[i][i] != 0)return -2;x[i] = temp / a[i][i];}return 0;
}
int main(void)
{int equ,var;int T;scanf("%d",&T);while(T--){int n,m,k;int u,v,w;memset(a,0,sizeof(a));scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);for(int i=0;i<k;i++){scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);a[i][u-1]=a[i][n-1+v]=1;a[i][n+m]=w;}var=n+m;equ=k;int flag=Gauss(equ,var);if(flag==-1||flag==-2){printf("No\n");}else{printf("Yes\n");}}return 0;
}

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