1.伴随矩阵

1.定义

设A=[aij]A=\lbrack a_{ij}\rbrackA=[aij]是nnn阶矩阵，行列式∣A∣\left|A\right|∣A∣的每个元素aija_{ij}aij的代数余子式AijA_{ij}Aij所构成的如下的矩阵
A∗=[A11A21⋯An1A12A22⋯An2⋮⋮⋮A1nA2n⋯Ann]A^\ast=\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn}\end{bmatrix} A∗=⎣⎢⎢⎢⎡A11A12⋮A1nA21A22⋮A2n⋯⋯⋯An1An2⋮Ann⎦⎥⎥⎥⎤
称为矩阵AAA的伴随矩阵.

2.二阶矩阵的逆矩阵

对于2阶矩阵，用主对角线元素对换，副对角线元素变号即可求出伴随矩阵。
A∗=[A11A21A12A22]=[d−b−ca]A^\ast=\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}\\A_{12}&A_{22}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix} A∗=[A11A12A21A22]=[d−c−ba]

3.公式

AA∗=A∗A=∣A∣E;A∗=∣A∣A−1;∣A∗∣=∣A∣n−1;(A∗)−1=(A−1)∗=1∣A∣A;(A∗)T=(AT)∗;(kA)∗=kn−1A∗;(A∗)∗=∣A∣n−2A;r(A∗)={n,如果r(A)=n,1,如果r(A)=n−1,0,如果r(A)<n−1.AA^{{}_{{}_\ast}}=A^{{}_{{}_\ast}}A=\left|A\right|E;\\A^{{}_{{}_\ast}}=\left|A\right|A^{-1};\left|A^{{}_{{}_\ast}}\right|=\left|A\right|^{n-1};\\\left(A^\ast\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^\ast=\frac1{\left|A\right|}A;\\\left(A^\ast\right)^T=\left(A^T\right)^\ast;\left(kA\right)^\ast=k^{n-1}A^{{}_{{}_\ast}};\left(A^\ast\right)^\ast=\left|A\right|^{n-2}A;\\r(A^\ast)=\left\{\begin{array}{l}n,\;\;\mathrm{如果}r(A)=n,\\1,\;\;\mathrm{如果}r(A)=n-1,\\0,\;\;\;\mathrm{如果}r(A)<n-1.\end{array}\right.AA∗=A∗A=∣A∣E;A∗=∣A∣A−1;∣A∗∣=∣A∣n−1;(A∗)−1=(A−1)∗=∣A∣1A;(A∗)T=(AT)∗;(kA)∗=kn−1A∗;(A∗)∗=∣A∣n−2A;r(A∗)=⎩⎨⎧n,如果r(A)=n,1,如果r(A)=n−1,0,如果r(A)<n−1.

2.逆矩阵

1.定义

设AAA是nnn阶矩阵，如果存在是nnn阶矩阵BBB使得AB=BA=EAB=BA=EAB=BA=E（单位矩阵）成立，则称AAA是可逆矩阵或非奇异矩阵，BBB是AAA的逆矩阵。

2.定理

若AAA是可逆矩阵，则矩阵AAA的逆矩阵唯一，记为A−1A^{-1}A−1.
n阶矩阵A可逆⇔∣A∣≠0⇔r(A)=n⇔A的列(行)向量组线性无关⇔A=P1P2⋯PsPi(i=1,2,⋯,s)是初等矩阵⇔A与单位矩阵等价⇔0不是矩阵A的特征值n\mathrm{阶矩阵}A\mathrm{可逆}\\ \Leftrightarrow\left|A\right|\neq0\\\Leftrightarrow r(A)=n\\\Leftrightarrow A\mathrm{的列}(行)\mathrm{向量组线性无关}\\\Leftrightarrow A=P_1P_2\cdots P_sP_i(i=1,2,\cdots,s)\mathrm{是初等矩阵}\\\Leftrightarrow A\mathrm{与单位矩阵等价}\\\Leftrightarrow0\mathrm{不是矩阵}A\mathrm{的特征值}n阶矩阵A可逆⇔∣A∣=0⇔r(A)=n⇔A的列(行)向量组线性无关⇔A=P1P2⋯PsPi(i=1,2,⋯,s)是初等矩阵⇔A与单位矩阵等价⇔0不是矩阵A的特征值
若AAA是nnn阶矩阵，则满足AB=EAB=EAB=E，则必有BA=EBA=EBA=E

3.公式

(A−1)−1=A;(kA)−1=1kA−1(k≠0);(AB)−1=B−1A−1;(An)−1=(A−1)n;(A−1)T=(AT)−1;∣A−1∣=1∣A∣;A−1=1∣A∣A∗\left(A^{-1}\right)^{-1}=A;\left(kA\right)^{-1}=\frac1kA^{-1}\left(k\neq0\right);\\\left(AB\right)^{-1}=B^{-1}A^{-1};\left(A^n\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^n;\\\left(A^{-1}\right)^T=\left(A^T\right)^{-1};\left|A^{-1}\right|=\frac1{\left|A\right|};\\A^{-1}=\frac1{\left|A\right|}A^\ast(A−1)−1=A;(kA)−1=k1A−1(k=0);(AB)−1=B−1A−1;(An)−1=(A−1)n;(A−1)T=(AT)−1;∣∣A−1∣∣=∣A∣1;A−1=∣A∣1A∗

3.作业

5、矩阵求逆函数

In [1]: import numpy as npIn [2]: a = np.array([[-2, 3, 3], [1, -1, 0], [-1, 2, 1]])In [3]: np.linalg.inv(a)
Out[3]:
array([[-0.5,  1.5,  1.5],[-0.5,  0.5,  1.5],[ 0.5,  0.5, -0.5]])In [4]: A = np.matrix(a)In [5]: A.I
Out[5]:
matrix([[-0.5,  1.5,  1.5],[-0.5,  0.5,  1.5],[ 0.5,  0.5, -0.5]])In [6]: b = np.array([[0, 3, 3], [1, 1, 0], [-1, 2, 3]])In [7]: a.dot(b)
Out[7]:
array([[ 0,  3,  3],[-1,  2,  3],[ 1,  1,  0]])

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