雨中行走数学建模雨中行走数学建模

雨中行走问题的分析

吴珍 数学与应用数学二班 A班

冯奎艳 数学与应用数学二班 A班

杨彦云 数学与应用数学二班 A班

摘 要 本文讨论了雨线方向、跑步速度与淋雨量关系的问题.

针对问题一，将人视为长方体，采用物理学中流体计算的思想方法计算淋雨量，得到速度越大淋雨量越小的结论。

针对问题二，首先引入雨滴降落频率的概念，解决了用雨速来确定降雨量雨滴降落不连续的问题。然后采用物理学中流体计算的思想方法计算淋雨量，建立跑步速度与淋雨量关系的优化模型，得到速度越大淋雨量越小的结论。

针对问题三，在问题二的基础上，改变雨线方向，采用物理学中流体计算的思想方法，建立与跑步速度与淋雨量关系的优化模型，确定淋雨量最小情况下的跑步速度.

针对问题四，综合雨线方向与跑步方向夹角，跑步速度，淋雨量的关系，建立几何模型，采用数形结合的方法建立淋雨量模型。

关键词 雨滴降落频率；优化模型；淋雨量

一、问题重述

一般情况下，行人未带雨具却突降大雨，都会选择加快行走速度以减少淋雨量，但如果考虑风速、雨速，就会发现淋雨量并不光与淋雨时间有关。那么在雨中以何种速度跑，淋雨量最少。现假设要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型，讨论是否跑得越快,淋雨量越少。按以下步骤进行讨论:

(1) 不考虑雨的方向,设降雨淋遍全身,以最大速度跑步,估计跑完全程的总淋雨量。

(2) 雨从迎面吹来,雨线与跑步方向在同一铅直平面内,且与人体的夹角为,问速度多大时,总淋雨量最少。

(3) 雨从背面吹来,雨线方向与跑步方向在同一铅直平面内,且与人体的夹角为,问速度多大时,总淋雨量最少。

(4) 若雨线方向与跑步方向不在同一平面内即异面时,模型会有什么变化。

二、问题分析

人在雨中行走时，行走时间即淋雨时间。把人看成一个长方体，总淋雨量是各个面淋雨量之和。为解决雨滴不是连续的，引进雨滴频率(模型建立部分会做具体阐述)的概念。

对于问题一，在不考虑雨速方向的前提下，人的前、后、左、右以及顶部都会被淋到雨，此时淋雨量只与行走时间及单位时间内的降雨量有关。人以最大速度匀速运动时，通过位移公式，可计算出运动时间。

对于问题二，当雨迎面而来时，由于雨速与人行走方向成角且在同一铅直平面，通过速度分解，分别考虑人头顶方向雨的方向、人正面雨速方向，再根据淋雨面积和淋雨时间即可确定淋雨量，建立总淋雨量模型，分析淋雨量关于速度的函数，得到最优解，使淋雨量最小。

对于问题三，雨从背面吹来，雨线与跑步方向在同一铅直平面内,且与人体的夹角为,与题二类似，淋雨量从人背面和头顶两个面讨论，两个面的雨速经过速度分解，雨降在两个面的速度是不同的，最终得出两个面的淋雨量，建立总淋雨量模型，通过分析淋雨量关于速度的函数，得到最优解使淋雨量最小。

对于问题四，固定人的行走方向，从一个点出发建立直角坐标系，雨斜向下与竖直方向成()雨向以绕竖直方向旋转一周包含了雨所有的方向，涵盖了雨的方向与行走方向处于铅直平面和异面的情况，建立模型，分情况讨论即可得出雨向与行走方向异面时的淋雨量。

三、模型假设

1．假设人是一个长为,宽为,高为的长方体，人的各个面都有被淋到雨的可能；

2.假设人在奔跑过程中以匀速运动；

3.假设下雨过程中，风速方向及大小稳定；

四、符号表示

符号表示含义雨滴的速度人在雨中的行走速度单位时间内的降雨量即降雨强度不考虑雨的方向的淋雨量淋雨量雨迎面吹来的淋雨量雨从背面吹来的淋雨量雨向与行走方向异面时的淋雨量人在雨中直线行走的距离人的长度人的宽度人的高度雨迎面吹来与人体的夹角雨背面吹来与人体的夹角雨滴降落的频率雨线方向在xoy面的投影与y轴夹角雨线方向与z轴的夹角

五、模型建立与求解

冒雨行走是生活中常见的问题，为了被淋湿的最少，建立相应的数学模型来解决在雨中如何行走，使淋雨量最少。

5.1不考虑雨的方向时的淋雨量分析

在不考虑雨的方向的条件下，设降雨淋遍全身，则淋雨量包括顶部淋雨量，两个侧面淋雨量，迎面和侧面淋雨量。

淋雨时间

淋雨面积(顶部和四个侧面面积)

淋雨量

5.2雨迎面吹来的淋雨量分析

图1

雨迎面吹来时，雨的速度方向和人体的夹角为，当是大暴雨时，雨像屋檐流水是不间断的，用雨速就可以确定降雨量，但通常雨都是不连续下落的，为了描述雨的大小引入降雨频率的概念。

定义为雨下落的频率用来描述雨的大小，将单位时间划分为个(尽可能的大)

其中有个的时间在下雨。(0< <1)记为雨的体积则

当=1时，