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题主提到“线性”代数，想必不是数学系的，应该不考线性空间和线性映射，不考内积空间，不考复矩阵、各种矩阵分解. 而且是校内期末考这中送人头的考试，不要太容易.

1，行列式这块，会简单计算即可，需要归纳法或迭代的行列式计算考的概率极低，但是常见的行列式还是要会(三角形，通过逐列(行)相加提取公因子，范德蒙德，爪型等等)，几条简单的行列式性质要熟记，特别是

. 伴随矩阵有关的性质记记就好了。

2，矩阵。运算法则，初等变换和求逆矩阵一定要掌握. 矩阵的相似，至少要会求特征值和特征向量。

3，线性方程组。只要会求解，会判断是否有解就行。克拉姆法则了解一下。线性相关和线性无关要掌握，会证明相关还是无关(看懂书上的例题就行，考试的时候依样画葫芦).

4，看到一个二次型，会写出这个二次型对应的矩阵，会通过矩阵的特征值判断正定负定.

以上四点做到了，题主就肯定及格了. 如果还有余力，下面的按次序来：

(1)理解矩阵的秩，了解几个矩阵的秩相关的不等式，会简单证明，会用秩-零度定理.

(2)矩阵相似这块，会利用对角阵求矩阵的幂的运算；会格拉姆-施密特正交化，能将实对称矩阵分解为

，其中

是正交阵，

是对角阵.

(3)会二次型的标准化和规范化.

以上都做到了，考试至少中上游. 题主加油.

对于一学期下来没怎么学习，作业全靠抄的几乎对线性代数一窍不通的同学，介绍一下行列式极限求生法。在要求不高的线性代数考试中，行列式的性质和计算肯定会考几道题，另外再知道一些行列式的应用，还能拿些分数，也许能拿到40分甚至更多。有些学校/院系/专业/任课老师对这门课不甚严格的情况下，比如最后的得分是卷面分开根乘十，那么拿到36分就能过关了。基于以上条件，我们把知识点局限于行列式，并提高熟练度，即使对一些计算能力薄弱的同学，因为放弃了很多题目，因此有充足的时间可以缓慢谨慎的计算，最后拿到三四十分过关。因为条件苛刻，因此风险巨大。平时下功夫才是王道。

一，需要理解掌握的概念：逆序数，方阵

，方阵

的行列式

，(上、下)三角阵，对角阵，代数余子式，伴随矩阵

，对称矩阵，可逆矩阵，矩阵的转置

。

二，需要了解的概念：逆矩阵

，线性相关，线性无关，极大无关组，特征值，对角化，特征多项式

，二次型及其矩阵

。

三，需要掌握的行列式的各性质和计算，会计算伴随矩阵、范德蒙德行列式，对于每一行的所有元素的和都相等的行列式的计算要知道方法，会用伴随矩阵求可逆矩阵的逆矩阵，方程组的系数矩阵的行列式是否等于零对应的含义要搞清楚，行列式等于零与线性相关的关系，通过计算特征多项式求特征值，根据特征值标准化二次型。下面的公式不妨背一背。

上述具体内容我就不展开了，书上都有。

下面我随便搜了一套线代期末卷做了一下，就用行列式及中学知识，看看能得多少分。不能用上述知识解决的题目我就忽略了。既验证一下上述方法，也做一个答卷示范。

一，填空题，每题2分.

1，在六阶行列式

中，项

的符号应取().

4，

若

线性相关，则

满足().

6，已知对称矩阵

，则对应的二次型为().

二，单选题，每题2分.

1，已知

，

().

3，设

为

阶方阵，且满足

，则必有().

或

或

均不可逆

5，设矩阵

，则

的特征值为().

三，判断题，每题2分

1，若

阶行列式

中非零元素的个数小于

，则

.

四，计算题，每题8分

1，设矩阵

，

是

的伴随矩阵，求

.

2，计算

阶行列式

.

3，已知向量组

求：(1)该向量组的秩；(2)该向量组的一个极大无关组；(3)将其余向量表示为此极大无关组的线性组合．

4，已知实对称矩阵

的特征值

. 对应于特征值

有两个线性无关的特征向量

；对应于特征值

有一个线性无关的特征向量

.求正交矩阵

，使

为对角矩阵

，并写出

.

五，计算题

2，判断线性方程组

是否有解，若有解，试求其解(在有无穷多个解的情况下，用基础解系表示全部解).

以下为解答.

一(1)

就是

的逆序数是

，所以符号是正的.

一(4)

， 填

.

一(6)

.

二(1)

选

.

二(3)因为

，所以

显然是对的. 其他选项就不要管了.

二(5)

，选

.

三(1)，由已知，至少有一行元素全为零，故行列式为零，正确.

注：判断题共6道，剩下五题再蒙对两道不奇怪吧.

四(1)

，由公式

容易得到

. 记不得公式或不会推导通过暴力计算也行.

四(2)

四(3)

，故

线性相关.

，故

线性相关.

，故

线性相关.

，故

线性相关.

显然

不相关，所以是它们的一个最大无关组. 第一问和第三问就算了.

四(4)我们知道如何用特征值写对角阵

五(2)用

代替

，可以解得

，故对任意的

，都有对应的

，因而方程组有无穷多组解.

做到以上这些得四十几分是稳的. 运气足够好的话，就能过关了。