【集合论】集合运算 ( 并集 | 交集 | 不相交 | 相对补集 | 对称差 | 绝对补集 | 广义并集 | 广义交集 | 集合运算优先级 )
文章目录
- 一、 并集
- 二、 并集示例
- 三、 交集
- 四、 交集示例
- 五、 不相交
- 六、 相对补集
- 七、 对称差
- 八、 绝对补集
- 九、 广义并集
- 十、 广义交集
- 十一、 集合运算优先级
一、 并集
并集 : A,BA, BA,B 是两个集合 , 由 AAA 和 BBB 所有的元素组成的集合 , 称为 AAA 与 BBB 的并集 ;
记做 : A∪BA \cup BA∪B , ∪\cup∪ 称为 并运算符 ;
符号化表示 : A∪B={x∣x∈A∨x∈B}A \cup B = \{ x | x \in A \lor x \in B \}A∪B={x∣x∈A∨x∈B}
初级并 : 两个集合的并运算 , 可以推广到 有限个 / 可数个 集合的并运算 , 称为 初级并 ;
A1,A2,⋯,AnA_1 , A_2 , \cdots , A_nA1,A2,⋯,An 是 nnn 个集合 , 则 A1∪A2∪⋯∪An={x∣∃i(1≤i≤n∨x∈Ai)}A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n = \{ x | \exist i ( 1 \leq i \leq n \ \lor \ x \in A_i ) \}A1∪A2∪⋯∪An={x∣∃i(1≤i≤n ∨ x∈Ai)} , 记作
⋃i=1nAi=A1∪A2∪⋯∪An\bigcup_{i=1}^{n} A_i = A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_ni=1⋃nAi=A1∪A2∪⋯∪An
A1,A2,⋯,An,⋯A_1 , A_2 , \cdots , A_n , \cdotsA1,A2,⋯,An,⋯ 是 可数个 个集合 , 则 初级并形式记作 :
⋃i=1∞Ai=A1∪A2∪⋯\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i = A_1 \cup A_2 \cup \cdotsi=1⋃∞Ai=A1∪A2∪⋯
二、 并集示例
集合 A={x∈N∣5≤x≤10}A = \{ x \in N | 5 \leq x \leq 10 \}A={x∈N∣5≤x≤10} , 集合 B={x∈N∣x≤10∨x是素数}B = \{ x \in N | x \leq 10 \lor x 是素数 \}B={x∈N∣x≤10∨x是素数}
A∪B={2,3,5,6,7,8,9,10}A \cup B = \{ 2, 3, 5 ,6,7,8,9,10 \}A∪B={2,3,5,6,7,8,9,10}
三、 交集
交集 : A,BA, BA,B 是两个集合 , AAA 和 BBB 公共元素组成的集合 , 称为 A,BA , BA,B 集合的交集 ;
记作 : A∩BA \cap BA∩B , ∩\cap∩ 称为 交运算符 ;
符号化表示 : A∩B={x∣x∈A∧x∈B}A \cap B = \{ x | x \in A \land x \in B \}A∩B={x∣x∈A∧x∈B}
初级交 : 两个集合的交运算 , 可以推广到 有限个 / 可数个 集合的并运算 , 称为 初级交 ;
A1,A2,⋯,AnA_1 , A_2 , \cdots , A_nA1,A2,⋯,An 是 nnn 个集合 , 则 A1∩A2∩⋯∩An={x∣∀i(1≤i≤n→x∈Ai)}A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n = \{ x | \forall i ( 1 \leq i \leq n \ \to \ x \in A_i ) \}A1∩A2∩⋯∩An={x∣∀i(1≤i≤n → x∈Ai)} , 记作
⋂i=1nAi=A1∩A2∩⋯∩An\bigcap_{i=1}^{n} A_i = A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_ni=1⋂nAi=A1∩A2∩⋯∩An
A1,A2,⋯,An,⋯A_1 , A_2 , \cdots , A_n , \cdotsA1,A2,⋯,An,⋯ 是 可数个 个集合 , 则 初级并形式记作 :
⋂i=1∞Ai=A1∩A2∩⋯\bigcap_{i=1}^{\infty} A_i = A_1 \cap A_2 \cap \cdotsi=1⋂∞Ai=A1∩A2∩⋯
四、 交集示例
集合 A={x∈N∣5≤x≤10}A = \{ x \in N | 5 \leq x \leq 10 \}A={x∈N∣5≤x≤10} , 集合 B={x∈N∣x≤10∧x是素数}B = \{ x \in N | x \leq 10 \land x 是素数 \}B={x∈N∣x≤10∧x是素数}
A∩B={5,7}A \cap B = \{ 5, 7 \}A∩B={5,7}
五、 不相交
不相交 : A,BA , BA,B 两个集合 , 如果 A∩B=∅A \cap B = \varnothingA∩B=∅ , 则称 AAA 和 BBB 两个集合是 不相交 的 ;
扩展到多个集合 : A1,A2,⋯A_1 , A_2 , \cdotsA1,A2,⋯ 是可数个集合 , 任意 i≠ji \not= ji=j , Ai∩Aj=∅A_i \cap A_j = \varnothingAi∩Aj=∅ 都成立 , 则称 A1,A2,⋯A_1 , A_2 , \cdotsA1,A2,⋯ 是互不相交的 ;
六、 相对补集
相对补集 : A,BA , BA,B 两个集合 , 属于 AAA 集合 而 不属于 BBB 集合 的 全体元素组成的集合 , 称为 BBB 对 AAA 的相对补集 ;
记作 : A−BA - BA−B
符号化表示 : A−B={x∣x∈A∧x∉B}A-B = \{ x | x \in A \land x \not\in B \}A−B={x∣x∈A∧x∈B}
七、 对称差
对称差 : A,BA , BA,B 是两个集合 , 属于 AAA 集合 而 不属于 BBB 集合 , 属于 BBB 集合 而 不属于 AAA 集合 , 的 全体元素 , 组成的集合称为 AAA 与 BBB 的对称差 ;
记作 : A⊕BA \oplus BA⊕B
符号化表示 : A⊕B={x∣(x∈A∧x∉B)∨(x∉A∧x∈B)}A \oplus B = \{ x | ( x \in A \land x \not\in B ) \lor ( x \not\in A \land x \in B ) \}A⊕B={x∣(x∈A∧x∈B)∨(x∈A∧x∈B)}
对称差 与 相对补集 关系 : A⊕B=(A−B)∪(B−A)=(A∪B)−(A∩B)A \oplus B = ( A - B ) \cup ( B - A ) = ( A \cup B ) - ( A \cap B )A⊕B=(A−B)∪(B−A)=(A∪B)−(A∩B)
(A−B)∪(B−A)( A - B ) \cup ( B - A )(A−B)∪(B−A) : AAA 对 BBB 的相对补集 , 与 BBB 对 AAA 的相对补集 的 并集 ;
(A∪B)−(A∩B)( A \cup B ) - ( A \cap B )(A∪B)−(A∩B) : A,BA, BA,B 的并集 对 A,BA,BA,B 交集的相对补集 ;
八、 绝对补集
绝对补集 : EEE 是全集 , A⊆EA \subseteq EA⊆E , 全集 EEE 包含 AAA 集合 , 称 AAA 对 EEE 的相对补集 为 AAA 的绝对补集 ;
记作 : ∼A\sim A∼A
符号化表示 : ∼A={x∣x∈E∧x∉A}\sim A = \{ x | x \in E \land x \not\in A \}∼A={x∣x∈E∧x∈A}
其中 EEE 是全集 , x∈Ex \in Ex∈E 为永真式 , 根据 命题逻辑 等值演算 的 同一律 , 111 合取 任何值 , 真值还是 任何值 本身 ;
因此 , 可以 去掉 合取联结词 前面的 x∈Ex \in Ex∈E , 结果为 :
∼A={x∣x∉A}\sim A = \{ x | x \not\in A \}∼A={x∣x∈A}
九、 广义并集
广义并集 : A\mathscr{A}A 是一个 集族 , 集族 A\mathscr{A}A 中的全体 集合元素 的 元素组成的集合 , 称为 集族 A\mathscr{A}A 的广义并 ;
记作 : ∪A\cup \mathscr{A}∪A
符号化表示 : ∪A={x∣∃z(x∈z∧z∈A)}\cup \mathscr{A} = \{ x | \exist z ( x \in z \land z \in \mathscr{A} ) \}∪A={x∣∃z(x∈z∧z∈A)}
广义并集示例 :
A={{a,b},{a,c},{a,b,c}}\mathscr{A} = \{ \{a, b\} , \{a, c\} , \{a, b, c\} \}A={{a,b},{a,c},{a,b,c}}
∪A={a,b,c}\cup \mathscr{A} = \{ a, b, c \}∪A={a,b,c}
十、 广义交集
广义交集 : A\mathscr{A}A 是一个 集族 , 集族 A\mathscr{A}A 中的全体 集合元素 的 公共元素组成的集合 , 称为 集族 A\mathscr{A}A 的广义交 ;
记作 : ∩A\cap \mathscr{A}∩A
符号化表示 : ∩A={x∣∀z(z∈A→x∈z)}\cap \mathscr{A} = \{ x | \forall z ( z \in \mathscr{A} \to x \in z ) \}∩A={x∣∀z(z∈A→x∈z)}
广义并集示例 :
A={{a,b},{a,c},{a,b,c}}\mathscr{A} = \{ \{a, b\} , \{a, c\} , \{a, b, c\} \}A={{a,b},{a,c},{a,b,c}}
∩A={a}\cap \mathscr{A} = \{ a \}∩A={a}
十一、 集合运算优先级
第一类运算 ( 单目运算符 ) : 绝对补 , 幂集 , 广义交 , 广义并 ; 运算按照从左到右顺序运算 ;
第二类运算 ( 双目运算符 ) : 初级并 , 初级交 , 相对补 , 对称差 ; 按照括号结合顺序进行运算 , 没有括号按照从左右到顺序进行运算 ;
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