物理光学3 电磁波的折射与反射

用麦克斯韦方程推导边界条件
从边界条件到折射与反射定律
Fresnel方程

当电磁波从介质(ϵ1,μ1)(\epsilon_1,\mu_1)(ϵ1,μ1)传播到介质(ϵ2,μ2)(\epsilon_2,\mu_2)(ϵ2,μ2)中时，电磁波传播的方向、电磁波的振幅、相位等都可能发生变化，这一讲的目标是回顾这些变化与电磁波的物理性质与几何性质之间的关系。

用麦克斯韦方程推导边界条件

在界面两侧取一个非常小的Ampere loop，沿界面外法线方向n^\hat nn^的宽度为δh\delta hδh，用麦克斯韦方程
∇×E⃗+∂B⃗∂t=0\nabla \times \vec E + \frac{\partial \vec B}{\partial t}=0∇×E+∂t∂B=0

计算∇×E⃗\nabla \times \vec E∇×E在Ampere loop中的面积分，并用Stokes公式化简可以得到
n^×(E⃗2−E⃗1)=0\hat n \times (\vec E_2 - \vec E_1)=0n^×(E2−E1)=0

同样的计算技巧用于
∇×H⃗−∂D⃗∂t=0\nabla \times \vec{H} -\frac{\partial \vec{D}}{\partial t} =0∇×H−∂t∂D=0

可以得到
n^×(H⃗2−H⃗1)=0\hat n \times (\vec H_2-\vec H_1)=0n^×(H2−H1)=0

在边界上取Gauss surface，并对
∇⋅D⃗=0,∇⋅B⃗=0\nabla \cdot \vec D=0,\nabla \cdot \vec B = 0∇⋅D=0,∇⋅B=0

取积分用Gauss定理可以得到
n^⋅(D⃗2−D⃗1)=0n^⋅(B⃗2−B⃗1)=0\hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1)=0 \\ \hat n \cdot (\vec B_2-\vec B_1)=0n^⋅(D2−D1)=0n^⋅(B2−B1)=0

这里构造边界条件的方法与静磁学问题中找边界条件的方法一样。

从边界条件到折射与反射定律

假设界面为{(x,y,z):z=0}\{(x,y,z):z=0\}{(x,y,z):z=0}，其中yyy是垂直纸面向外的方向，x⃗\vec xx表示入射波与界面的交点的位移；上文的边界条件中，下标为1表示入射端，下标为2表示出射端，另外，下标i,r,ti,r,ti,r,t分别表示入射、反射、折射波，则
E⃗1=E⃗i+E⃗rE⃗2=E⃗t\vec E_1 = \vec E_i+\vec E_r \\ \vec E_2 = \vec E_tE1=Ei+ErE2=Et

因此
n^×(E⃗i+E⃗r)=n^×E⃗t\hat n \times (\vec E_i+\vec E_r) = \hat n \times \vec E_tn^×(Ei+Er)=n^×Et

这个等式对任意ttt与x⃗\vec xx均成立。代入三处电场的表达式：
n^×(E⃗i0ei(k⃗i⋅x⃗−wit)+E⃗r0ei(k⃗r⋅x⃗−wrt))=n^×E⃗t0ei(k⃗t⋅x⃗−wtt)\hat n \times (\vec E_{i0}e^{i(\vec k_i \cdot \vec x-w_it)}+\vec E_{r0}e^{i(\vec k_r \cdot \vec x-w_rt)})=\hat n \times \vec E_{t0}e^{i(\vec k_t \cdot \vec x-w_tt)}n^×(Ei0ei(ki⋅x−wit)+Er0ei(kr⋅x−wrt))=n^×Et0ei(kt⋅x−wtt)

要使这个式子对任意ttt成立，需要
wi=wr=wtw_i = w_r=w_twi=wr=wt

要使这个式子对任意x⃗\vec xx成立，需要
k⃗i⋅x⃗=k⃗r⋅x⃗=k⃗t⋅x⃗\vec k_i \cdot \vec x = \vec k_r \cdot \vec x = \vec k_t \cdot \vec xki⋅x=kr⋅x=kt⋅x

这个式子蕴含电磁波传播的三条规律，也是几何光学中重要的三条规律：

反射光与折射光与入射光共面，称这个平面为入射平面(plane of incidence)
反射定律：θi=θr\theta_i=\theta_rθi=θr
Snell定律：n1sin⁡θi=n2sin⁡θtn_1\sin \theta_i = n_2 \sin \theta_tn1sinθi=n2sinθt

先说明第一条：
(k⃗i−k⃗r)⋅x^=0(k⃗i−k⃗r)⋅x^=0(\vec k_i - \vec k_r) \cdot \hat x = 0 \\ (\vec k_i - \vec k_r) \cdot \hat x = 0(ki−kr)⋅x^=0(ki−kr)⋅x^=0

这两个等式说明k⃗i−k⃗r,k⃗i−k⃗t\vec k_i - \vec k_r,\vec k_i - \vec k_tki−kr,ki−kt与法线平行，因为这两个向量起点相同，因此它们与法线共面，所以反射光与折射光与入射光共面；

然后说明第二条：根据k⃗i⋅x⃗=k⃗r⋅x⃗\vec k_i \cdot \vec x = \vec k_r \cdot \vec xki⋅x=kr⋅x以及wi=wrw_i=w_rwi=wr，可以得到θi=θr\theta_i=\theta_rθi=θr

最后说明一下第三条：根据k⃗r⋅x⃗=k⃗t⋅x⃗\vec k_r \cdot \vec x = \vec k_t \cdot \vec xkr⋅x=kt⋅x以及wi=wtw_i=w_twi=wt，可以得到
n1sin⁡θi=n2sin⁡θtn_1\sin \theta_i = n_2 \sin \theta_tn1sinθi=n2sinθt

其中nnn是折射率，
n=μϵn=\sqrt{\mu \epsilon}n=μϵ

Fresnel方程

现在我们确定电场的表达式，用入射平面作为参考，把电场分为平行于入射平面于垂直于入射平面的两个方向，分别用下标P与S表示，记w=wi=wr=wtw=w_i=w_r=w_tw=wi=wr=wt；

先计算S波的折射与反射，
E⃗iS=E⃗i0Se(k⃗i⋅x⃗−wt),E⃗i0S=Ei0Sy^E⃗rS=E⃗r0Se(k⃗r⋅x⃗−wt),E⃗r0S=Et0Sy^E⃗iS=E⃗t0Se(k⃗t⋅x⃗−wt),E⃗t0S=Et0Sy^\vec E_{iS} = \vec E_{i0S}e^{(\vec k_i \cdot \vec x - wt)}, \vec E_{i0S}=E_{i0S}\hat y \\ \vec E_{rS} = \vec E_{r0S}e^{(\vec k_r \cdot \vec x - wt)} ,\vec E_{r0S}=E_{t0S}\hat y\\ \vec E_{iS} = \vec E_{t0S}e^{(\vec k_t \cdot \vec x - wt)},\vec E_{t0S}=E_{t0S}\hat yEiS=Ei0Se(ki⋅x−wt),Ei0S=Ei0Sy^ErS=Er0Se(kr⋅x−wt),Er0S=Et0Sy^EiS=Et0Se(kt⋅x−wt),Et0S=Et0Sy^

其中未知量只有E⃗r0S,E⃗t0S\vec E_{r0S},\vec E_{t0S}Er0S,Et0S。根据界面上电场的连续性
Ei0S+Er0S=Et0SE_{i0S}+E_{r0S}=E_{t0S}Ei0S+Er0S=Et0S

以及磁场的连续性（磁场的方向由右手定则确定）
−Hi0Scos⁡θi+Hr0Scos⁡θr=−Ht0Scos⁡θt-H_{i0S}\cos \theta_i+H_{r0S} \cos \theta_r = -H_{t0S}\cos \theta_t−Hi0Scosθi+Hr0Scosθr=−Ht0Scosθt

代入折射定律与反射定律，以及
H0=ϵμE0H_0 = \sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}}E_0H0=μϵE0

联立可以得到
Er0SEi0S,Et0SEi0S\frac{E_{r0S}}{E_{i0S}},\frac{E_{t0S}}{E_{i0S}}Ei0SEr0S,Ei0SEt0S

称这两个值为反射系数与折射系数，记为rS,tSr_S,t_SrS,tS；类似地可以推导rT,tSr_T,t_SrT,tS。