您对斐波纳契程序的修改确实可以计算总和.但是,使用递归的方式效率很低.处理此问题的一种方法是使用“动态编程”方法,其中计算值被缓存,以便第二次递归调用可以重用它们.但是,第n个斐波纳契数可以从基数计算出来.递归实现这将是：

public static int fib_r (int a, int b, int n) {

if (n == 1) return a;

if (n == 2) return b;

return fib_r(b, a+b, n-1);

}

public static int fib (int n) {

return fib_r(0, 1, (n > 0) ? n : 1);

}

总和的相应代码是：

public static int sumfib_r (int a, int b, int n) {

if (n == 1) return a;

if (n == 2) return b;

return sumfib_r(b, a+b+1, n-1);

}

public static int sumfib (int n) {

return sumfib_r(0, 1, (n > 0) ? n : 1);

}

尾部递归通常会被编译器/解释器更改为一个简单的循环,作为tail call删除的一部分.

您询问：

I still couldn’t figure out how the summation of the series works if I add 1. Can someone please explain??

这个问题实际上是关于理解算法,我认为这是SO的主题.但是,需要数学来描述算法的工作原理.所以,这真的是一个数学问题.有一个well known theorem regarding the sum of Fibonacci numbers.如果F [i]是第i个斐波纳契数,而S [n]是前n个斐波那契数的和,那么上面的定理说明：

S[n] = F[n+2] - 1

所以,如果我们根据S [n 2]的定义考虑,

S[n+2] = S[n+1] + F[n+2]

然后,用S [n] 1代替F [n 2]：

S[n+2] = S[n+1] + S[n] + 1

你应该认识到的是你的“添加1修改”的斐波那契函数.

以下是通过归纳证明您的程序计算我在原始答案中提供的总和.设F代表你的斐波那契函数,让S代表你的“加1修改”的斐波那契函数.

F[1] = 0

F[2] = 1

F[i] = F[i-1] + F[i-2] for i > 1

S[1] = 0

S[2] = 1

S[i] = S[i-1] + S[i-2] + 1 for i > 1

然后,你想要一个证明k> 0：

k

.---

S[k] = > F[i]

`---

i = 1

请注意,当且仅当以下情况时,上述总和为真：

S[1] = F[1]

S[k] = F[k] + S[k-1] for k > 1

证据非常简单.基本案例非常简单.

S[1] = F[1] = 0

S[2] = F[2] + F[1] = 1

S[3] = S[2] + S[1] + 1 = F[3] + F[2] + F[1] = 2

诱导步骤是：鉴于某些k> 1. 2,S [j 1] = F [j 1] S [j],0 << j< k 1,证明如果j = k 1则等式成立,即：S [k 2] = F [k 2] S [k 1].

S[k+2] = S[k+1] + S[k] + 1

=> S[k+2] = (F[k+1] + S[k]) + (F[k] + S[k-1]) + 1

=> S[k+2] = (F[k+1] + F[k]) + (S[k] + S[k-1] + 1)

=> S[k+2] = F[k+2] + S[k+1]

这样就完成了证明.