前言

常常搞不清楚几个概念，自己写一写有助于记忆和理解，水平有限，欢迎大家批评指正~

1 连续

个人理解，连续是个局部的概念，一般说函数在某一点x0处，满足那样一个性质，就说这个函数在x0连续。

同济第七版的定义是这样的：
表情包版本的定义是这个样子的：

定义的版本各种各样，但都是想要描述：
控制x与x0的距离，就可以使相应的函数值f(x)离f(x0)就可以要多近有多近。
这个距离多少由x0有关，不同的点这个距离可能不同。
也就是在我们直观上的连续不断的一条曲线的性质。

此外，在区间上连续是这么说的：

“如果在区间上每一点都连续，就称函数在该区间上连续，如果区间包括端点，那么在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续。”（同济第七版）

一个解释很清楚的理解：https://zhuanlan.zhihu.com/p/87984703.

2 一致连续

单从定义上与连续比较，少了某一点x0的概念，多了区间I的概念。

也就是说，不论在区间I的任何部分，只要自变量的两个数值接近到一定程度，相应的函数值就可以达到指定的接近程度。
这个一定程度对全体区间上的点都奏效。

举个栗子：
f(x)=1/x 在(0,1]上连续，但不一致连续。
问题出在靠近0的地方，取x1 = 1/n, x2 = 1/(n+1),
x1，x2之间的距离随着n增大越来越小，但两函数值始终相差1。

不严谨的说，不一致连续是因为函数在区间上有斜率趋于无穷的地方。

3 Hölder连续

百度百科上的定义：

4 Lipschitz连续

定义：对函数f(x):R→Rf(x): R \to Rf(x):R→R 存在常数KKK，s.t.
∣f(x1)−f(x2)∣≤K∣x1−x2∣|f(x_1)-f(x_2)| \leq K|x_1-x_2|∣f(x1)−f(x2)∣≤K∣x1−x2∣

5 关系

1 连续与一致连续：

一致连续性定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，那么它在该区间上一致连续。

2 Lipschitz连续与一致连续：
Lipschitz ：要求函数斜率或变化幅度有界，即小于一个常数；
一致连续：要求函数斜率或变化幅度有限，即不趋于无穷；
因此Lipschitz连续更强；

eg. [0,1]区间上y=x12y= x^{\frac{1}{2}}y=x21 ：
在0点处不满足Lipschitz连续，但满足一致连续

3 Hölder连续弱于Lipschitz连续；

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.1. 2.
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【数学】连续，一致连续，Hölder连续，Lipschitz连续

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