2017年度中国大学生数学竞赛预赛试题参考 答案(非数学类).pdf

2017 年数学竞赛预赛 (非数学类)试题评分标准及参考答案

一 1. 已知可导函数 满足 , 则f (x)

解: 在方程两边求导

f '(x)cosx+f (x)sinx = 1 , f '(x)+f (x) tanx = secx .

− ∫tan xdx  ∫tan xdx 

从而f (x) =e secxe dx +c

∫ 

 

− lncos x  1 − ln cos x   1 

=e e dx+ c = cos x dx+ c

∫  ∫ 2 

 cos x   cos x 

= cos x tan x+ c =sin x+ ccos x

( )

由于f (0) = 1 ,故f (x) = sinx + cosx 。

2 ( 2 )

2 .求 lim sin π n + n

n→∞

2 2 2 2

解 由于 sin (π n + n) = sin (π n + n − nπ )

2  nπ 

= sin   → 1 。

2

+ +

 n n n

3. 设w= f (uv, ) 具有二阶连续偏导数,且u=x− cy,v=x+cy ,其中c为非零常数。则

1

w − w =_________ 。

xx 2 yy

c

解: w = f+f ,w = f + 2 f + f ,

x 1 2 xx 11 12 22

w =cf( − f) ,

y 2 1

∂ 2

w =c f − f =ccf −cf −cf +cf =c f −2f + f

yy ( 2 1 ) ( 11 12 21 22 ) ( 11 12 22 ) 。

y

1

所以w − w =4 f 。

xx 2 yy 12

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