2017中学生计算机竞赛预赛试题答案,2017年度中国大学生数学竞赛预赛试题参考 答案(非数学类).pdf...
2017年度中国大学生数学竞赛预赛试题参考 答案(非数学类).pdf
2017 年数学竞赛预赛 (非数学类)试题评分标准及参考答案
一 1. 已知可导函数 满足 , 则f (x)
解: 在方程两边求导
f '(x)cosx+f (x)sinx = 1 , f '(x)+f (x) tanx = secx .
− ∫tan xdx ∫tan xdx
从而f (x) =e secxe dx +c
∫
− lncos x 1 − ln cos x 1
=e e dx+ c = cos x dx+ c
∫ ∫ 2
cos x cos x
= cos x tan x+ c =sin x+ ccos x
( )
由于f (0) = 1 ,故f (x) = sinx + cosx 。
2 ( 2 )
2 .求 lim sin π n + n
n→∞
2 2 2 2
解 由于 sin (π n + n) = sin (π n + n − nπ )
2 nπ
= sin → 1 。
2
+ +
n n n
3. 设w= f (uv, ) 具有二阶连续偏导数,且u=x− cy,v=x+cy ,其中c为非零常数。则
1
w − w =_________ 。
xx 2 yy
c
解: w = f+f ,w = f + 2 f + f ,
x 1 2 xx 11 12 22
w =cf( − f) ,
y 2 1
∂ 2
w =c f − f =ccf −cf −cf +cf =c f −2f + f
yy ( 2 1 ) ( 11 12 21 22 ) ( 11 12 22 ) 。
∂
y
1
所以w − w =4 f 。
xx 2 yy 12
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