1. 随机数

随机数，也即“随机选择的数”，是在一个有限数集上的一个一致分布的随机序列。随机数在许多方面有应用，如仿真、抽样、数值分析、计算机程序、娱乐等方面都有所应用。计算机用确定算法计算出来的随机数系列是伪随机数，并不是真正的随机数，但是其具有随机数的统计特征，如均匀性、独立性等。
在上世纪初，冯诺伊曼建议用平方，然后取结果中间的数据作为随机数(平方取中法)。结果看起来修似乎是随机的，但是很多人对此质疑。实际上这并不是好的随机方法，尤其是针对一些短循环序列。

2. 线性同余序列

2.1. 概念

后来，有人发明了线性同余方程，用此方程生成的一组序列，随机效果不错。线性同余方程生成的序列，被称为线性同余序列。线性同余序列在一个周期内重复出现。并且方程中有四个魔数(常数)，但是这四个魔数，对随机的效果影响巨大。线性同余发生器(Linear congruential generator,LCG)用于生成随机序列。
LCG定义：
X n + 1 = ( a X n + c ) m o d m X_{n+1}=(aX_{n}+c)\mod\;m Xn+1=(aXn+c)modm

X是随机数序列
m，0<m，模
a，0<a<m，乘子
c，0≤c<m，增量，也叫做偏移量
X₀ , 0≤X₀<m，开始值，通常叫做“种子”seed

当c=0时候，LCG就变换成了乘法同余发生器，multiplicative congruential generator (MCG)， c≠0时叫做混合同余发生器，mixed congruential generator，MCG。

2.2. 示例

上面的线性同余方程，选定a、X、c和m四个魔数，可以生成线性同余序列，线性同余序列在一个周期内存是随机的，独立的，一个周期完成之后，循环进行。
当m=9,a=2,c=0,seed=1时，得：
X 0 = s e e d = 1 X 2 = ( a ∗ X 1 + c ) m o d m = ( 2 × 1 + 0 ) % 9 = 2 X 3 = ( a ∗ X 2 + c ) m o d m = ( 2 × 2 + 0 ) % 9 = 4 X 4 = ( a ∗ X 3 + c ) m o d m = ( 2 × 4 + 0 ) % 9 = 8 X 5 = ( a ∗ X 4 + c ) m o d m = ( 2 × 8 + 0 ) % 9 = 7 X 6 = ( a ∗ X 5 + c ) m o d m = ( 2 × 7 + 0 ) % 9 = 5 X 7 = ( a ∗ X 6 + c ) m o d m = ( 2 × 5 + 0 ) % 9 = 1 \begin{aligned} &X_0 = seed = 1\\ &X_2 = (a∗X_1+c)\mod\;m=(2×1+0)\%9=2\\ &X_3 = (a∗X_2+c)\mod\;m=(2×2+0)\%9=4\\ &X_4 = (a∗X_3+c)\mod\;m=(2×4+0)\%9=8\\ &X_5 = (a∗X_4+c)\mod\;m=(2×8+0)\%9=7\\ &X_6 = (a∗X_5+c)\mod\;m=(2×7+0)\%9=5\\ &X_7 = (a∗X_6+c)\mod\;m=(2×5+0)\%9=1\\ \end{aligned} X0=seed=1X2=(a∗X1+c)modm=(2×1+0)%9=2X3=(a∗X2+c)modm=(2×2+0)%9=4X4=(a∗X3+c)modm=(2×4+0)%9=8X5=(a∗X4+c)modm=(2×8+0)%9=7X6=(a∗X5+c)modm=(2×7+0)%9=5X7=(a∗X6+c)modm=(2×5+0)%9=1

数据示图如下：

如上图所示，m、a、c取值不同，其循环的周期长度是不同的，并且随机的效果也是不同的。

2.3. 最大周期长度

m、a、c取值不同，其循环的周期长度是不同的。为了使得线性同余序列的周期长度达到最大m，需要满足以下3个条件：

m and c are relatively prime（互为质数，即两个数没有除1之外的公约数）
a-1 is divisible by all prime factors of m（m的质因数（可以整除m的所有质数），都能整除a-1，也即a-1是m的所有质因数的倍数）
a-1 is divisible by 4 if m is divisible by 4 (如果m被4整除，a-1也被4整除，即m是4的倍数，a-1也要是4的倍数）

详细证明过程，感觉兴趣的可以看《计算机程序设计艺术》第二卷的随机数章节，有详细证明过程的介绍。

是质数

/*判断是否为质数*/
bool prime(int N)
{if (N < 2)return false;if (N == 2)return true;for (int i = 2; i < std::sqrt(N*1.0); i++){if (N%i == 0) //i能被j整除，N不是质数{return false;}}return true;
}

互质

bool isrp(int a, int b)
{if(a <=0 || b<=0 || a==b){ // 互质整数不能小于或等于0return false;}else if(a==1 || b==1){ // 两个正整数中，只有其中一个数值为1，两个正整数为互质数return true;}else{// 求出两个正整数的最大公约数while(1){int t = a%b;if(t == 0){break;}else{a = b;b = t;}}if( b > 1){ // 如果最大公约数大于1，表示两个正整数不互质return false;}else{ // 如果最大公约数等于1,表示两个正整数互质return true;}}
}

所有质因数

class QualityFactor
{public:vector<int> m_vInt;
public:void QFContract(long a) //用短除法对合数进行分解{while(a>1){for(int i=2;i<=a;i++){if(a%i==0) //短除法{a = a/i;if (std::find(m_vInt.begin(), m_vInt.end(), i) == m_vInt.end())m_vInt.push_back(i);break;}}}}
};

所有质因数整除

int MaxCommondMultiple(const vector<int>& _vInt, BOOL _bFour, int _nSrc)
{int nCommonMultiple = 1;while (nCommonMultiple < _nSrc){for (auto it = _vInt.begin(); it != _vInt.end(); ++it){nCommonMultiple*= *it;if (_bFour && (nCommonMultiple%4 != 0)){continue;}BOOL bFind = TRUE;for (auto it = _vInt.begin(); it != _vInt.end(); ++it){if (nCommonMultiple % *it != 0){bFind = FALSE;break;}}if (bFind){return nCommonMultiple;}}}return 0;
}

随机数函数

static int seed = 0;
int random(int a, int b, int m)
{seed = (seed * a + b) % m;return seed;
}

输入最大周期长度m，即可以根据上述函数生成相应的a和c。

2.4. 其他

2.4.1. 标准库rand

m、a、c、X是一级相关数，选定m之后，同样会有很多组对应的a、c、X。不同的数据，对应的随机数分布是不一样的。随机效果也是大大不同。理论上m选择的范围越方，其效果越好。而VS实现的std::rand()即是采用线性同余方程实现的。

*/int __cdecl rand (void)
{_ptiddata ptd = _getptd();return( ((ptd->_holdrand = ptd->_holdrand * 214013L+ 2531011L) >> 16) & 0x7fff );
}

其周期较小，所以随机效果不是特别好。另外其中的几个常数，是经常大量实验选择的，是随机效果相对较好的一组数。

2.4.2. 自定义rand

什么时候需要自定义rand()呢？例如我要取0-10之间的随机数，并且每次不能相同，且可以取完一个周期。一般情况下我们会使用“洗牌”算法，即在数据序列中，依次取出一个数与后面的随机取的数交换，即可以达到效果。标准库提供了std::shuffle实现此功能。

std::vector<int> v = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10};
std::shuffle (v.begin (), v.end (), std::default_random_engine (0));

大多数时候，我们使用上面的方法，可以得到效果非常好的随机序列。但是如果我需要一个0-0xFFFFFFFF之间的随机序列呢？此时就不方便使用构造一个巨大的数据序列之后，再调用洗牌函数打乱数据。因为数据序列的内存消耗巨大。
此时，就需要使用一个自定义周期长度为0xFFFFFFF的rand()函数了。即，我们选定m=0xFFFFFF，根据三个条件调用相应的函数求出相应的m、c、X。但是因为参数的可能性太多，随机性差异巨大，需要经过大量实验，才能选择一组较好的数据组合供使用。
示例代码

2.4.3. 最佳随机数

线性同余发生器一直是随机数生成的主要方式，但是其随机效果不是特别好。C++11引入了梅森旋转演算法的随机数引擎，是目前效果最好的随机算法。std::default_random_engine默认即使用梅森旋转演算法。也可以直接使用梅森旋转演算法引擎std::mt19937。

C++随机数之线性同余发生器相关推荐

R语言：作业六（逆变换法生成随机变量；线性同余发生器LCG的编写）
1. 用逆变换法编写产生下述随机变量的程序: X 0 1 p 0.4 0.6 模拟10000次,并确定随机变量的值0的比例. f <- function(n){{x <- rep(0,n) ...
线性同余法产生随机数C语言,线性同余生成随机数的一点思考
今天下午 pk 和我讨论了一个问题,他看到在另一个项目组的 lua 代码里有一段使用线性同余产生随机数的代码,但是那个项目组的同事告诉他这个函数生成的随机数是分布不均的.于是他想到了我前两天给他讲的关 ...
[XSY] 智慧树（线性同余方程组，线段树/树状数组）
智慧树解决此题有两个要点: 如何判断一个线性同余方程组有没有解如何统计合法子序列数目先看第2点: 若一个序列是合法的,则这个序列的所有子序列都是合法的考虑对∀1≤i≤n\forall 1\le ...
【Python】蒙特卡洛模拟 | PRNG 伪随机数发生器 | 马特赛特旋转算法 | LCG 线性同余算法 | Python Random 模块
猛戳订阅!
第二十九章数论——中国剩余定理与线性同余方程组
第二十九章数论--中国剩余定理与线性同余方程组一.中国剩余定理 1.作用: 2.内容: 3.证明: (1)逆元的存在性 (2)验证定理的正确性 4.代码实现: (1)步骤: (2)问题: (3)代 ...
POJ 3087 Shuffle'm Up 线性同余,暴力难度:2
http://poj.org/problem?id=3087 设:s1={A1,A2,A3,...Ac} s2={Ac+1,Ac+2,Ac+3,....A2c} 则合在一起成为 Ac+1,A1,Ac ...
同余在计算机中的应用算法,线性乘同余法在购车摇号中的应用
[1] 邓玉良, 毛志刚, 叶以正. 基于Logistic映射的智能IC卡随机数发生器[J] . 计算机研究与发展, 1999, 36(4):509-512. (Deng Yuliang, Mao Z ...
如何正确地生成一个随机数
参考文章笔记 | 如何正确地生成一个随机数 CF曾提到:Don't use rand(): a guide to random number generators in C++ 文章总结: 1 .r ...
以太坊solidity智能合约-生成随机数
Solidity随机数生成在以太坊的只能合约中,没有提供像其他面向对象编程一样的生成随机数的工具类或方法.其实,所谓的随机数也是伪随机的,没有哪一种语言能够真正的生成随机数. 对于solidity来 ...

C++随机数之线性同余发生器