背景

前缀和（prefix sum）也叫扫描（scan），闭扫描（inclusive scan）操作对 n 元数组[x₀, x₁, x₂, …, x_n-1] 进行二元运算#，返回输出数组 [x₀, (x₀#x₁),…, (x₀#x₁#x₂# …# x_n-1)]。开扫描(exclusive scan) 与闭扫描类似，返回数组 [0, x₀, (x₀#x₁),…, (x₀#x₁#x₂# …# x_n-2)]。将闭扫描输出数组全部右移一位，第 0 个数组赋 0 即得到开扫描的输出数组。

闭扫描算法的串行实现：

void sequential_scan(float *x, float *y, int Max_i){y[0] = x[0];for(int i=1;i < Max_i;i++){y[i] = y[i-1]+x[i];}
}

也就是一个简单的动态规划。

简单并行扫描

下面是通过归约树实现的原地扫描算法：

在共享内存中声明数组XY，并将长度为 n 的 x 数组中的值赋给 XY 数组。
进行迭代，在第 n 次迭代时，后 n − 2 n − 1 n-2^{n-1} n−2n−1 个数分别加上它前面第 2 n − 1 2^{n-1} 2n−1个数。
当 2 n − 1 2^{n-1} 2n−1 大于n时，停止迭代。

上面的算法处理元素的数量不能超过一个 block 的线程数。

代码：

#include<cuda.h>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define SECTION_SIZE 256
__global__ void work_inefficient_scan_kernel(float *X, int input_size){__shared__ float XY[SECTION_SIZE];int i = blockIdx.x*blockDim.x + threadIdx.x;//将数组加载到共享寄存器。if(i < input_size){XY[threadIdx.x] = X[i];}       //进行闭扫描for(unsigned int stride = 1;stride <= threadIdx.x;stride*=2){__syncthreads();XY[threadIdx.x] += XY[threadIdx.x - stride];}__syncthreads();X[i] = XY[threadIdx.x];
}void test(float *A, int n){float *d_A, *d_B;int size = n * sizeof(float);cudaMalloc(&d_A, size);cudaMemcpy(d_A, A, size, cudaMemcpyHostToDevice);//用SECTION_SIZE作为block大小启动kernel。work_inefficient_scan_kernel<<<ceil((float)n/SECTION_SIZE), SECTION_SIZE>>>(d_A, n);cudaMemcpy(A, d_A, size, cudaMemcpyDeviceToHost);cudaFree(d_A);
}int main(int argc, char **argv){int n = atoi(argv[1]);  //n 不能大于SECTION_SIZEfloat *A = (float *)malloc(n * sizeof(float));for(int i = 0; i < n;++i){A[i] = 1.0;}test(A, n);for(int i = 0;i < n; ++i){printf("%f ", A[i]);}free(A);return 0;
}

效率

现在我们来分析一下上面 kernel 的工作效率。所有线程将迭代 log(SECTION_SIZE) 步。每次迭代中不需要做加法的线程数量等于 stride ，所以我们可以这样计算算法完成的工作量：
∑ ( N − s t r i d e ) , f o r s t r i d e s 1 , 2 , 4 , . . . , N / 2 \sum(N-stride), for \, strides \, 1,2,4,...,N/2 ∑(N−stride),forstrides1,2,4,...,N/2
每一项的第一个部分和跨步无关，因此他们的和是: N × l o g 2 ( N ) N \times log_2(N) N×log2(N)；第二部分类似等比数列，他们的和为 N − 1 N-1 N−1。所以加法操作的总数是： N × l o g 2 ( N ) − ( N − 1 ) N \times log_2(N)-(N-1) N×log2(N)−(N−1)
串行扫描算法完成的加法总数为 N − 1 N-1 N−1，串行并行不同 N 值的加法次数：

N	16	32	64	128	256	512	1024
N − 1 N-1 N−1	15	31	63	127	255	51	1023
N × l o g 2 ( N ) − ( N − 1 ) N \times log_2(N)-(N-1) N×log2(N)−(N−1)	49	129	321	769	1793	4097	9217

元素个数为 1024 时，并行比串行多做了 9 倍的加法。随着 N 的增大，这个系数会继续增长。

高效的并行扫描

这个算法由两部分组成，第一部分是归约求和，第二部分是用倒置的树分发部分和。

把一个长度为 N 的数组归约求和（下图的上半部分），一般需要 (N/2) + (N/4) + … + 2 + 1 = N - 1 次操作。

归约求和：

没有控制流分支的版本：

for(unsigned int stride = 1;stride <= blockDim.x;stride *= 2){__syncthreads();int index = (threadIdx.x + 1)*stride*2 - 1;if(index < SECTION_SIZE)XY[index] += XY[index - stride];
}

归约后数组中的值如下图的第一行：

从倒置树可以看出，第一次将 XY[7] 加到 XY[11] 上，第二次分别将 XY[3]， XY[7]， XY[11] 加到 XY[5] ， XY[9]， XY[13] 上，第三次除 XY[0] 偶数位元素加前面元素。

可以看出，相加的 stride 从 SECTION_SIZE/4 下降到 1。我们需要将位置为 stride 的倍数 - 1 的 XY 元素相加到相距一个 stride 位置上的元素上。具体代码如下：

    for(unsigned int stride = SECTION_SIZE/4; stride > 0; stride /= 2){__syncthreads();int index = (threadIdx.x + 1)*stride*2 - 1;if(index + stride < SECTION_SIZE)XY[index + stride] += XY[index];}

无论在归约阶段还是在分发阶段，线程数都没有超过 SECTION_SIZE/2。所以可以启动一个只有SECTION_SIZE/2 个线程的 block。因为一个 block 中可以有 1024 个线程，所以每个扫描部分中最多可以有 2048 个元素。所以一个线程就要加载 2 个元素。
完整Brent_Kung_scan代码：

#include<cuda.h>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define SECTION_SIZE 2048
__global__ void  Brent_Kung_scan_kernel(float *X, int input_size){__shared__ float XY[SECTION_SIZE];//将数组加载到共享寄存器，一个线程加载两个元素。int i = 2 * blockIdx.x * blockDim.x + threadIdx.x;if(i < input_size) XY[threadIdx.x] = X[i];else XY[threadIdx.x] = 0.0f;if(i + blockDim.x < input_size) XY[threadIdx.x + blockDim.x] = X[i + blockDim.x];else XY[threadIdx.x + blockDim.x] = 0.0f;//不带控制流的归约求和 for(unsigned int stride = 1;stride <= blockDim.x;stride *= 2){__syncthreads();int index = (threadIdx.x + 1)*stride*2 - 1;if(index < SECTION_SIZE)XY[index] += XY[index - stride];}//分发部分和for(unsigned int stride = SECTION_SIZE/4; stride > 0; stride /= 2){__syncthreads();int index = (threadIdx.x + 1)*stride*2 - 1;if(index + stride < SECTION_SIZE)XY[index + stride] += XY[index];}__syncthreads();if(i < input_size) X[i] = X[threadIdx.x];if(i + blockDim.x < input_size) X[i + blockDim.x] = XY[threadIdx.x + blockDim.x];
}void test(float *A, int n){float *d_A;int size = n * sizeof(float);cudaMalloc(&d_A, size);cudaMemcpy(d_A, A, size, cudaMemcpyHostToDevice);Brent_Kung_scan_kernel<<<ceil((float)n/(SECTION_SIZE/2)), SECTION_SIZE/2>>>(d_A, n);cudaMemcpy(A, d_A, size, cudaMemcpyDeviceToHost);cudaFree(d_A);
}int main(int argc, char **argv){int n = atoi(argv[1]);float *A = (float *)malloc(n * sizeof(float));for(int i = 0; i < n;++i){A[i] = 1.0;}test(A, n);for(int i = 0;i < n; ++i){printf("%f ", A[i]);}free(A);return 0;
}

对于 N 个元素的数组，操作总数为 (N/2) + (N/4) + … + 4 + 2 -1 约为 N - 2，所以最终的操作数为 2 × N − 3 2 \times N-3 2×N−3。下表比较了不同 N 下的执行的操作数。

N	16	32	64	128	256	512	1024
N − 1 N-1 N−1	15	31	63	127	255	51	1023
N × l o g 2 ( N ) − ( N − 1 ) N \times log_2(N)-(N-1) N×log2(N)−(N−1)	49	129	321	769	1793	4097	9217
2 × N − 3 2 \times N-3 2×N−3	29	61	125	253	509	1021	2045

由于操作数量现在与 N 成正比，而不是与 N × l o g 2 ( N ) N \times log_2(N) N×log2(N) 成正比，所以高效的算法执行的总操作数不会超过串行的两倍。只要有至少两倍的执行单元，并行算法的性能就能比串行更好。

更大长度的并行扫描

上面的算法最多只能处理 2048 个元素，我们需要一种能处理更多元素的并行算法，下面的层级扫描就是其中一种方法。

首先对整个数组使用上一节的 Brent_Kung_scan_kernel 进行处理，每个块内都会进行扫描，扫描后结果数组中仅保留了块内扫描的结果，我们称这些段为扫描块。
将每个块最后一个数保留到长度为 m 的辅助数组 S 中，对 S 进行扫描。
将 S 的前 m - 1 个元素分别加到结果数组的后 m - 1 个扫描块的每个元素中。

当前的 CUDA 设备每个 block 中有1024个线程，每个 block 最多能处理 2048 个元素，grid x 维中有 65536 个线程块，最多可以处理 134217728 个元素。
完成上图的工作我们设计 3 个 kernel。

第一个 kernel 使用块的第一个线程，将扫描块的最后一个元素加载到 S 数组上。可以使用 Brent_Kung_scan_kernel 然后在其后面加上：
```
__syncthreads();
if(threadIdx.x == 0)S[blockIdx.x] = XY[SECTION_SIZE - 1];
```
第二个 kernel 对 S 进行扫描。可以使用 Brent_Kung_scan_kernel。
第三个 kernel 将 S 回写到原本数组上。

最终代码如下：

#include<cuda.h>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define SECTION_SIZE 2048
__global__ void  Brent_Kung_scan_kernel_1(float *X, float *S, int input_size){__shared__ float XY[SECTION_SIZE];//将数组加载到共享寄存器，一个线程加载两个元素。int i = 2 * blockIdx.x * blockDim.x + threadIdx.x;if(i < input_size) XY[threadIdx.x] = X[i];else XY[threadIdx.x] = 0.0f;if(i + blockDim.x < input_size) XY[threadIdx.x + blockDim.x] = X[i + blockDim.x];else XY[threadIdx.x + blockDim.x] = 0.0f;//不带控制流的归约求和 for(unsigned int stride = 1;stride <= blockDim.x;stride *= 2){__syncthreads();int index = (threadIdx.x + 1)*stride*2 - 1;if(index < SECTION_SIZE)XY[index] += XY[index - stride];}//分发部分和for(unsigned int stride = SECTION_SIZE/4; stride > 0; stride /= 2){__syncthreads();int index = (threadIdx.x + 1)*stride*2 - 1;if(index + stride < SECTION_SIZE)XY[index + stride] += XY[index];}__syncthreads();if(i < input_size) X[i] = XY[threadIdx.x];if(i + blockDim.x < input_size) X[i + blockDim.x] = XY[threadIdx.x + blockDim.x];__syncthreads();if(threadIdx.x == 0){S[blockIdx.x] = XY[SECTION_SIZE - 1];}
}__global__ void  Brent_Kung_scan_kernel_2(float *X, int input_size){__shared__ float XY[SECTION_SIZE];//将数组加载到共享寄存器，一个线程加载两个元素。int i = 2 * blockIdx.x * blockDim.x + threadIdx.x;if(i < input_size) XY[threadIdx.x] = X[i];if(i + blockDim.x < input_size) XY[threadIdx.x + blockDim.x] = X[i + blockDim.x];//不带控制流的归约求和 for(unsigned int stride = 1;stride <= blockDim.x;stride *= 2){__syncthreads();int index = (threadIdx.x + 1)*stride*2 - 1;if(index < SECTION_SIZE)XY[index] += XY[index - stride];}//分发部分和for(unsigned int stride = SECTION_SIZE/4; stride > 0; stride /= 2){__syncthreads();int index = (threadIdx.x + 1)*stride*2 - 1;if(index + stride < SECTION_SIZE)XY[index + stride] += XY[index];}__syncthreads();if(i < input_size) X[i] = XY[threadIdx.x];if(i + blockDim.x < input_size) X[i + blockDim.x] = XY[threadIdx.x + blockDim.x];
}__global__ void kernel_3(float *X, float *S, int input_size){//一个线程处理两个元素。int i = 2*blockDim.x*blockIdx.x + threadIdx.x;if(blockIdx.x > 0){X[i] += S[blockIdx.x - 1];X[blockDim.x + i] += S[blockIdx.x - 1];}
}void test(float *A, int n){float *d_A, *S;int size = n * sizeof(float);cudaMalloc(&d_A, size);cudaMalloc(&S, ceil((float)n/SECTION_SIZE)*sizeof(float));cudaMemcpy(d_A, A, size, cudaMemcpyHostToDevice);Brent_Kung_scan_kernel_1<<<ceil((float)n/(SECTION_SIZE)), SECTION_SIZE/2>>>(d_A, S, n);Brent_Kung_scan_kernel_2<<<ceil((float)(ceil((float)n/SECTION_SIZE))/(SECTION_SIZE)), SECTION_SIZE/2>>>(S, n);kernel_3<<<ceil((float)n/(SECTION_SIZE)), SECTION_SIZE/2>>>(d_A, S, n);cudaMemcpy(A, d_A, size, cudaMemcpyDeviceToHost);cudaFree(d_A);
}int main(int argc, char **argv){int n = atoi(argv[1]);float *A = (float *)malloc(n * sizeof(float));for(int i = 0; i < n;++i){A[i] = 1.0;}test(A, n);// for(int i = 0;i < n; ++i){//     printf("%f ", A[i]);// }printf("%f ", A[n-1]);free(A);return 0;
}

运行结果：
由于打印速度太慢，所以直接打印最后一个元素，等于输入长度即为正确。

长度为一千万的时候计算结果错误。

查找一下最多能正确计算的长度约为 4125000，这可能跟硬件有关，但具体跟什么有关也不清楚。后面学的多了再来补充一下。

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