李群李代数-大师兄（简化版）

本节精髓（看完懂一半！）：把李群转换成李代数（李代数由向量组成，向量加法封闭，李群就是旋转矩阵，旋转矩阵加法不封闭），李代数求导以获得最小误差，从而得到最佳位姿。

1.相机位姿是T，它观察到一个在世界坐标系中的一个空间点p，相机上产生了一个相机观测数据z，那么z = Tp + noise，noise是观测噪声。那么观测误差就是e = z - Tp

目的：寻找最佳位姿T

做法：就是让整体误差最小～

求解此问题，就是求目标函数J对于变换矩阵T的导数。

2.遇到问题：我们知道变换矩阵T所在的SE(3)空间，对加法计算并不封闭，也就是说任意两个变换矩阵相加后并不是一个变换矩阵，这主要是因为旋转矩阵对加法是不封闭造成的

解决办法：李代数就是解决这个问题的。我们把大写SE(3)空间的T映射为一种叫做李代数的东西，映射后的李代数我们叫做小se(3)好了。它是由向量组成的，我们知道向量是对加法封闭的。这样我们就可以通过对李代数求导来间接的对变换矩阵求导了

3.李群

群（group）就是一种集合加上一种运算的代数结构。

群有几个运算性质:封闭性，结合律，幺元，还有逆(知道就好，不记得可以查书)

李群的定义是指连续光滑的群

旋转矩阵群SO(3)是李群（你想象你拿个杯子就可以在空间中以某个支点连续的旋转它，所以SO(3)它就是李群）

变换矩阵群SE(3)也是李群（一边旋转一边平移，也是连续的）

4.李代数

李代数对应李群的正切空间，它描述了李群局部的导数

李代数对应了李群的导数

5.一起证明第一个重要的结论

R(t)旋转矩阵， $\O (t)\wedge$ 反对称矩阵（相当于导数的矩阵）

反对称矩阵其实是将三维向量和三维矩阵建立对应关系

是这样定义的：如果一个3 X 3的矩阵A满足如下式子

左边有个转置，右边有个负号，叫反对称矩阵，还是挺形象的

我们假设有一个反对称矩阵A的定义如下：

满足性质：该矩阵的转置等于该矩阵元素取负数

现在我们进行简化表达旋转矩阵

我们定义对应的一个三维向量：

A就是旋转矩阵

现在我们应该能看懂前面的式子：

6.指数映射

定义：李群空间的任意一个旋转矩阵R都可以用李代数空间的一个向量的反对称矩阵指数来近似

你只要记得用旋转矩阵表示的话就是李群空间，也是我们熟悉的表示方法。而用向量的反对称矩阵表示的话就是李代数空间，这两个空间建立了联系

通过公式推导得到李群和李代数之间的关系式：

$exp(x)=e^x$ :

最后得到(罗德里格斯公式):

三维向量 φ = θa，a是一个长度为1的方向向量。看到这个式子有没有觉得很神奇？

最后总结成一张图：