运放补偿网络波特图LTspice仿真：PI、II型、PID

偏置调节电路

补偿器的输出电压只有在一定的范围内时才能正常工作。开环工作时，补偿器的输出很容易饱和，导致仿真结果不正确。
所以，需要加一个偏置调节电路，使得补偿器的输出电压Vc在合适范围内，如下图，参考LDO的原理，搭建了一个偏置调节电路。

补偿器输出Vc直连理想运放U3的正输入，电压源V2设置Vc的电压为3V
理想运放U3的输出为vout
vout经过分压网络后，连接到补偿器的输入。

偏置调节的原理： Vc>3V——U3的输出Vout↑——补偿器输入↑——补偿器输出Vc↓。

然后在这个环路中加入一个交流激励V4，就可以通过ac仿真来获得补偿器的波特图。对于上图，控制器的传递函数为：Gc(s)=Vc(s)Vout(s)G_c(s)=\frac{V_c(s)}{V_{out}(s)}Gc(s)=Vout(s)Vc(s)
绘制波特图时公式相同（但是，一般看补偿器的波特图时，不考虑引入的180°相位，所以最终公式为 -Vc/Vout）。

PI控制器

理想运放

PI控制器传递函数为：
−Gc(s)=Zf(s)Zin(s)=R2R1+1R1Cs-G_c(s)=\frac{Z_f(s)}{Z_{in}(s)}=\frac{R_2}{R_1}+\frac{1}{R_1 Cs}−Gc(s)=Zin(s)Zf(s)=R1R2+R1Cs1
KP=R2R1K_P=\frac{R_2}{R_1}KP=R1R2
Ki=1R1CK_i=\frac{1}{R_1 C}Ki=R1C1

因此，PI控制器有一个零点在fz=12πR1Cf_z=\frac{1}{2\pi R_1 C}fz=2πR1C1
例如，设置Kp=1，fz=10kHz，仿真得到的波特图为：

高频增益0dB，即1
转折点大致在10kHz

LTspice的理想运放其实也是有带宽和增益的（而不是无穷大），右键点击元件可以修改：

非理想运放

对于实际运放，高频的增益和相位会有明显变化。例如，

对于带宽较低的LT1077（增益带宽积250kHz），在30kHz以上，增益和相位都明显偏离理想情况。
带宽较高的LT1124(增益带宽积12.5MHz)，在1MHz以内的增益与理想情况差异不大，但是200kHz以上的相位有较大偏差。

II型控制器

对于II型控制器，

Zf(s)=(R2+1C1s)//1C2sZin(s)=R1−Gc(s)=Zf(s)Zin(s)=C1R2s+1R1s(C1+C2+C1C2R2s)≈C1R2s+1R1C1s(1+C2R2s)Z_f(s) = (R_2+\frac{1}{C_1 s} )// \frac{1}{C_2 s} \\ Z_{in}(s) = R_1 \\ -G_c(s) = \frac{Z_f(s)}{Z_{in}(s)}=\frac{C_1 R_2 s + 1}{R_1s(C_1 + C_2 + C_1 C_2 R_2 s)} \approx \frac{C_1 R_2 s + 1}{R_1C_1 s(1 + C_2 R_2 s)} Zf(s)=(R2+C1s1)//C2s1Zin(s)=R1−Gc(s)=Zin(s)Zf(s)=R1s(C1+C2+C1C2R2s)C1R2s+1≈R1C1s(1+C2R2s)C1R2s+1
推导：

II型控制器有2个极点，极点1为原点，极点2约为fp2≈1/(2πC2R2)f_{p2}\approx 1/(2\pi C_2R_2)fp2≈1/(2πC2R2)，和1个零点fz=1/(2πC1R2)f_{z}=1/(2\pi C_1R_2)fz=1/(2πC1R2)，其中，零点的频率一般会小于极点2的频率，因此有C1>>C2C_1>>C_2C1>>C2。因此能做上面的近似。
此外，频率在fzf_{z}fz和fp2f_{p2}fp2之间时，控制器的增益约为 R2/R1R_2/R_1R2/R1。
基于这些信息，设计一个中频增益10，零点100Hz，极点10kHz，参数如下图公式：

仿真得到的波特图如下：零点约100Hz，极点约10kHz，中频增益20dB，同设计值。
（具体II型控制器的参数选择还要看相位抬升的度数和抬升处的频率，此处不涉及。）

PID控制器

PID（III型）控制器的传递函数为

−Gc(s)=Zf(s)Zin(s)=(C1R2s+1)[C3(R1+R3)s+1]R1s(C3R3s+1)(C1+C2+C1C2R2s)≈(C1R2s+1)[C3(R1+R3)s+1]R1s(C3R3s+1)(C2R2s+1)-G_c(s) = \frac{Z_f(s)}{Z_{in}(s)}=\frac{(C_1 R_2 s + 1)[C_3 (R_1 + R_3 )s+1]}{R_1s(C_3 R_3 s+1)(C_1 + C_2 + C_1 C_2 R_2 s)} \approx \frac{(C_1 R_2 s + 1)[C_3 (R_1 + R_3 )s+1]}{R_1s(C_3 R_3 s+1)( C_2 R_2 s + 1)} −Gc(s)=Zin(s)Zf(s)=R1s(C3R3s+1)(C1+C2+C1C2R2s)(C1R2s+1)[C3(R1+R3)s+1]≈R1s(C3R3s+1)(C2R2s+1)(C1R2s+1)[C3(R1+R3)s+1]

推导：

零极点为：

fp1=0fp2=12πR3C3fp3=12πR2C2fz1=12πR2C1fz2=12π(R1+R3)C3f_{p1} = 0 \\ f_{p2} = \frac{1}{2\pi R_3 C_3} \\ f_{p3} = \frac{1}{2\pi R_2 C_2} \\ f_{z1} = \frac{1}{2\pi R_2 C_1} \\ f_{z2} = \frac{1}{2\pi (R_1+R_3) C_3} fp1=0fp2=2πR3C31fp3=2πR2C21fz1=2πR2C11fz2=2π(R1+R3)C31

低频增益约为R2/R1R_2/R_1R2/R1（C2和C3开路，C1短路），中频增益约为R2/(R1//R3)R_2/(R_1//R_3)R2/(R1//R3)（C2开路，C1和C3短路）。
例如，选择fz1=100,fz2=1k,fp2=10k,fp3=100kf_{z1}=100,f_{z2}=1k,f_{p2}=10k,f_{p3}=100kfz1=100,fz2=1k,fp2=10k,fp3=100k, 低频增益gainlow=10gain_{low}=10gainlow=10，选定R1=20k，参数计算如下图仿真模型：
其中，C3的计算较为复杂，因为同时与R1和R3有关：
C3=1fz2−1fp22πR1C_3= \frac{\frac{1}{f_{z2}}-\frac{1}{f_{p2}}}{2\pi R_1} C3=2πR1fz21−fp21

获得的波特图如下：

两个零点在100Hz和1kHz附近
低频增益约21dB
两个极点在1k和10k附近
相位抬升约140°

总结

用LTspice仿真一些控制器的波特图。使用了一个基于理想运放的偏置调节电路，使控制器的输出在一个设定值附近，防止输出饱和影响仿真。
简单介绍了PI、II型、III型（PID）控制器的传递函数和参数选择。
保留偏置调节电路并修改补偿器部分，也可以获得其他控制器电路的波特图，比如TL431+光耦：

仿真模型

PI、II型、PID控制器LTspice仿真模型

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