模拟滤波器概述

略略略

经典滤波器原理

1. 术语和概念

h(t),H(s),H(jΩ)h(t),H(s),H(j\Omega)h(t),H(s),H(jΩ)分别为单位冲击响应，传输函数，频率响应函数。

h(n),H(z),H(jΩ)h(n),H(z),H(j\Omega)h(n),H(z),H(jΩ)单位抽样响应，转移函数，频率响应函数。

模拟滤波器转换为数字滤波器会在频域上有个延拓（N点，2pi周期）
不失真传输
- y(t)=Kx(t−τ)y(t)=Kx(t-\tau)y(t)=Kx(t−τ)
- 幅值常数变化，相位常数移动
- H(jΩ)=Ke−jΩτH(j\Omega)=Ke^{-j\Omega \tau}H(jΩ)=Ke−jΩτ
- 冲激响应是sinc函数
理想滤波器在物理上不可实现。因此deduct to 存在过渡带的滤波器
Ωp,ΩS\Omega_p,\Omega_SΩp,ΩS：通带截止频率、阻带起始频率
允许在通带和阻带上有所波动（通带起伏，阻带有界）
Ωs−Ωp>0\Omega_s-\Omega_p >0Ωs−Ωp>0允许有一定宽度的过渡带
衰减率：α(Ω)=10lgH(0)H(Ω)\alpha(\Omega)=10 lg\frac{H(0)}{H(\Omega)}α(Ω)=10lgH(Ω)H(0)
半功率点：
αp=−10lg∣H(Ωp)∣2=3dB\alpha_p = -10lg|H(\Omega_p)|^2=3dBαp=−10lg∣H(Ωp)∣2=3dB
1/100功率点
αs=−10lg∣H(Ωs)∣2=40dB\alpha_s =-10lg|H(\Omega_s)|^2= 40dBαs=−10lg∣H(Ωs)∣2=40dB

2. 数字滤波器分类

根据冲击响应的延续长度分为：

FIR-有限冲击响应：只有分母上有z。
- 优点：不存在稳定性的问题，可实现线性的相位特性
- 缺点：不易实现好的幅频特性，滤波时计算量较大
IIR-无限冲击响应：分子分母都是多项式的形式。
- 优点：和FIR相反
- 缺点：和FIR相反

3.从模拟滤波器的指标到数字滤波器的指标

设计过程：给定四个参数(ap,Ωp)(a_p,\Omega_p)(ap,Ωp),(as,Ωs)(a_s,\Omega_s)(as,Ωs)，求传输函数G(s)
思路：从幅度平方函数入手。先设计出合适的G^2,然后返回G(s)

∣G(Ω)∣2=G(Ω)G(−Ω)=G(s)G(−s)|G(\Omega)|^2=G(\Omega)G(-\Omega)=G(s)G(-s)∣G(Ω)∣2=G(Ω)G(−Ω)=G(s)G(−s)

G(s)=D(s)C(s)G(s)=\frac{D(s)}{C(s)}G(s)=C(s)D(s)
G(s)G(-s)的零极点对称。
G(s)的极点必须全部位于S的左半部分才能保证稳定。

怎么回事！！！

巴特沃斯滤波器
∣G(jΩ)∣2=11+C2(Ω2)N|G(j\Omega)|^2=\frac{1}{1+C^2(\Omega^2)^N}∣G(jΩ)∣2=1+C2(Ω2)N1
切比雪夫1型
∣G(jΩ)∣2=11+ϵ2CN2(Ω)|G(j\Omega)|^2=\frac{1}{1+\epsilon^2C_N^2(\Omega)}∣G(jΩ)∣2=1+ϵ2CN2(Ω)1
切比雪夫2型
∣G(jΩ)∣2=11+ϵ2CN2(Ωs)CN2(Ωs/Ω)|G(j\Omega)|^2=\frac{1}{1+\epsilon^2\frac{C_N^2(\Omega_s)}{C_N^2(\Omega_s/\Omega)}}∣G(jΩ)∣2=1+ϵ2CN2(Ωs/Ω)CN2(Ωs)1
椭圆
∣G(jΩ)∣2=11+ϵ2UN2(Ω)|G(j\Omega)|^2=\frac{1}{1+\epsilon^2U_N^2(\Omega)}∣G(jΩ)∣2=1+ϵ2UN2(Ω)1

（一）巴特沃斯滤波器
∣G(jΩ)∣2=11+C2(Ω2)ΩpN|G(j\Omega)|^2=\frac{1}{1+C^2(\frac{\Omega^2)}{\Omega_p}^N}∣G(jΩ)∣2=1+C2(ΩpΩ2)N1
C待定，N为阶次，Ωp\Omega_pΩp截止

代入两个a可以解出C和N

α=3dB→C=1\alpha=3dB \rarr C=1α=3dB→C=1
极点均匀分布在单位圆上
pi=siΩp=ejπ2i+N−12Np_i = \frac{s_i}{\Omega_p} = e^{j\pi\frac{2i+N-1}{2N}}pi=Ωpsi=ejπ2N2i+N−1
归一化频率λs\lambda_sλs在求解阶数过程中会涉及
设计方法和步骤：课件7-1，实际上就是代入2个
参数，求出归一化频率和阶数，求2N个极点，最后可以由左半平面的N个极点得到传输函数

（二）切比雪夫多项式
CN(x)=cos(Ncos−1x)∣x∣<1C_N(x)=cos(Ncos^{-1}x) |x|<1CN(x)=cos(Ncos−1x)∣x∣<1
CN(x)=ch(Nch−1x)∣x∣>1C_N(x)=ch(Nch^{-1}x) |x|>1CN(x)=ch(Nch−1x)∣x∣>1
递推关系:CN+1(x)+CN−1(x)=2CN(x)C_{N+1}(x)+C_{N-1}(x)=2C_N(x)CN+1(x)+CN−1(x)=2CN(x)
N=0 C=1
N=1 C=x
通过递推关系可以搞出来.

性质
- x小于1的时候是等纹波的
- x = 0 看N是0或者正负1

切比雪夫的求解
1. 代入两个参数（通带最大衰减和阻带最小衰减）求出波动系数和阶数
2. 求极点（分布在椭圆上）
1+ϵ2CN2(p/j)=01+\epsilon^2C_N^2(p/j)=01+ϵ2CN2(p/j)=0
3. 上述方程共有2N个解，取左半平面的N个极点，求归一化传输函数
4. 带回得实际传输函数
切比雪夫比巴特沃斯好得多。

高通滤波器求解：归一化频率是对应的低通滤波器的倒数，最后一步代回的时候改一下即可。

带通滤波器求解
低通滤波器实际上是一个频域上对称的结构，如果能够直接把低通滤波器平移到带通位置就可以直接设计。

中心频率和归一化带宽在课件上定义了。
设计步骤

归一化处理（以频带宽度做），得到mu
频率变换得到lambda（对应的低通滤波器的频率）相当于一个可逆变换。
λ?=μ?−μ0μ?\lambda_{?}=\frac{\mu_{?}-\mu_0}{\mu_{?}}λ?=μ?μ?−μ0
设计原型低通滤波器,利用两个a和两个lambda
用s回推回p，得到带通滤波器

IIR（无限冲击响应）

laplace变换到到z变换
z=esTsz=e^{sT_s}z=esTsX(z)=∑o∞x(n)z−nX(z) = \sum_o^{\infty}x(n)z^{-n}X(z)=o∑∞x(n)z−nz=esTs=e(σ+jΩ)Ts=eσTsejΩTs=rejΩTsz = e^{sT_s} = e^{(\sigma+j\Omega)T_s} = e^{\sigma T_s} e ^{j\Omega T_s}=re ^{j\Omega T_s}z=esTs=e(σ+jΩ)Ts=eσTsejΩTs=rejΩTs

冲激响应不变法

基本想法：模拟滤波器的单位冲击响应g(t)的抽样就是数字滤波器的单位抽样响应h(t)，TsT_sTs为采样周期
h(nTs)=g(t)∑−∞∞δ(t−nTs)h(nT_s)=g(t)\sum_{-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s)h(nTs)=g(t)−∞∑∞δ(t−nTs)

采样函数p(t)=∑−∞∞δ(t−nTs)p(t)=\sum_{-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s)p(t)=∑−∞∞δ(t−nTs)可以用傅里叶级数展开，再代入到傅里叶变换中得到它的频谱，发现它在频域和时域上都是一个冲激串序列，不过周期会有变化

∑δ(t−nTs)=Ωs∑δ(Ω−nΩs)\sum\delta(t-nT_s)=\Omega_s\sum\delta(\Omega-n\Omega_s)∑δ(t−nTs)=Ωs∑δ(Ω−nΩs)where ΩS=2πTs\Omega_S=\frac{2\pi}{T_s}ΩS=Ts2π，因此可以得到对应的数字滤波器的表达式：

G^(jΩ)=1Ts∑−∞∞G(jΩ−jkΩs)\hat G(j\Omega)=\frac{1}{T_s}\sum_{-\infty}^{\infty}G(j\Omega-jk\Omega_s)G^(jΩ)=Ts1−∞∑∞G(jΩ−jkΩs)G^(s)=1Ts∑−∞∞G(s−jk2πTs)\hat G(s)=\frac{1}{T_s}\sum_{-\infty}^{\infty}G(s-jk\frac{2\pi}{T_s})G^(s)=Ts1−∞∑∞G(s−jkTs2π)

通过e指数映射的方式改写道z平面上
H(z)=1Ts∑−∞∞G(s−jk2πTs)H(z)=\frac{1}{T_s}\sum_{-\infty}^{\infty}G(s-jk\frac{2\pi}{T_s})H(z)=Ts1−∞∑∞G(s−jkTs2π)

这里，s的实部映射到模长，虚部和实部的比值映射到角度。
在单位圆内就能判定是一个稳定的滤波器（因为实部小于0）。因为周期性（周期延拓性），这个方法会产生在Ωs\Omega_sΩs的整数倍（也就是2πTs\frac{2\pi}{T_s}Ts2π的整数倍）的位置附近产生交叠。

因为模拟滤波器一般都是一阶系统和二阶系统的组合，所以分批转换：

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双线性变换

用s=1−e−sTs1+e−sTs=1−z1+zs=\frac{1-e^{-sT_s}}{1+e^{-sT_s}}=\frac{1-z}{1+z}s=1+e−sTs1−e−sTs=1+z1−z
来直接替换s
z=1+s1−sz=\frac{1+s}{1-s}z=1−s1+s
这种变换形式下有Ω=tan(ω/2)\Omega=tan(\omega/2)Ω=tan(ω/2)
虽然方法简单，但是在物理意义上说不通

也有另一种形式，s=2Ts1−e−sTs1+e−sTs=2Ts1−z1+zs=\frac{2}{T_s}\frac{1-e^{-sT_s}}{1+e^{-sT_s}}=\frac{2}{T_s}\frac{1-z}{1+z}s=Ts21+e−sTs1−e−sTs=Ts21+z1−z
这两组定义，对最后的 H(z)而言，结果是一样的
单值映射,不存在混叠

双线性变换法避免了冲激响应不变法的频率响应混叠现象,却付出了频率变换的非线性代价，使得数字滤波器与模拟原型滤波器的响应在对应频率点上发生了畸变。(tan函数在周期嗲附近非线性强)

克服畸变

预畸校正：通过临界频率事先加以矫正。使他经过双线性变换后，正好映射到所需要的位置上。

特征频率Ωx=2Tstan(ωx/2)\Omega_{x}=\frac{2}{T_s}tan(\omega_{x}/2)Ωx=Ts2tan(ωx/2)

下标是 pl,sl, ph,sh 分别是低和高的两个阈值频率。
所以使用双线性变换的时候，得到的归一化频率不再是Ω=ωTs\Omega=\frac{\omega}{T_s}Ω=Tsω而使用Ω=Ts2tan(ω2)\Omega=\frac{T_s}{2}tan(\frac{\omega}{2})Ω=2Tstan(2ω)

双线性变换步骤

给定指标
使用频率转换（采用预畸校正）
按照上一节的内容设计模拟滤波器G§
代入双线性变换z

从低通到高通和带通、阻

步骤一模一样。
只是在设计模拟滤波器的步骤，改成利用原型低通滤波器来设计高通、带通、带阻。

注意事项：

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