P315 GCD等于XOR UVa12176 “不难发现”的解释以及完整推导过程

1. a-b<=a xor b,

对于在同一个数位相同的二进制位值，xor和减法的效果都是一样的。

对于在同一个数位不同的二进制位值，xor恒等于1，而减法可能向高位借1.

2.gcd(a,b)<=a-b (假设a>b)

因为gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

设a=qb+r r=a%b=a-qb

gcd(b,a%b)=gcd(b,a-qb)

此时最大公因数不会超过a-qb

而a-qb<=a-b

所以gcd(a,b)=gcd(b,a%b)<=a-b

——————心累的分割线——————很明显吗——————
完整的思路总结

设 c=a^b=gcd(a,b)
发现 c=a-b
证明该结论成立

对于c=a^b>=a-b,
对于在同一个数位相同的二进制位值，xor和减法的效果都是一样的。
对于在同一个数位不同的二进制位值，xor恒等于1，而减法可能向高位借1.

对于c=gcd(a,b)<=a-b (假设a>b)
因为gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
设a=qb+r r=a%b=a-qb
gcd(b,a%b)=gcd(b,a-qb)
此时最大公因数不会超过a-qb
而a-qb<=a-b
所以gcd(a,b)=gcd(b,a%b)<=a-b

故满足上述条件的c==a-b

有gcd这一层的关系在
可以让a成为c的倍数来筛选
又使用c=a-b的关系,设a=nc,
则gcd(a,b)=gcd(a,a-c)=gcd(nc,(n-1)c)=c ——因为n与n-1互质
所以接下来只需要验证a^b==c即可

有一点不知你们注意到没，cnt++的位置是a——默认的较大的数
因为a,b均应当满足小于等于n的条件，所以应当记在a的位置

/*SE:wn------王宁*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 30000000+1;
int cnt[maxn];
int sum[maxn];
int main()
{int i,j,n,runs,run,a,b,c;memset(cnt,0,sizeof(cnt)); memset(sum,0,sizeof(sum));/*总结：利用约数的性质实现筛法第一种做法使用了1.打印结果找规律 2.利用数学证明该规律成立该规律是：如果gcd(a,b)==a^b,那么c=a-b3.知晓规律后我们使用c=a-b来推导b那么这个b=a-c背后的含义是什么呢？书上是说gcd(a,b)=gcd(a,a-c)=c所以这个b=a-c明面上确认了gcd(a,b)==c这个条件为c==a^b的成立提供了可能小结：要使条件成立，b必须等于a-c有了这个前提后，gcd部分一定成立*/for(c=1;c<=15000000;c++)for(a=c*2;a<=30000000;a+=c){b=a-c;if(c==(a^b)) ++cnt[a]; //1080ms/*b=a^c;if(b%c==0&&b<a) ++cnt[a];//1950ms这个也能用但是我不会证明*/}for(i=1;i<=30000000;i++) sum[i]=sum[i-1]+cnt[i];scanf("%d",&runs);for(run=1;run<=runs;++run){scanf("%d",&n);printf("Case %d: %d\n",run,sum[n]); } return 0;
}

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