18.5.30集训阶段性小结

先从第一天的比赛开始看，其实光从题目来看，我排于第七名的成绩，也就是两道水题和一道比较熟练的BFS给的，后面几题是没有思路的（大佬们太强了啊），被完虐……

我再从昨天的ACM欢乐赛开始说起————
比赛第一个小时，从A题的水题十分钟完成的速度来看，稍稍放宽了心态，然而在B题上竟然栽了跟头。最初在第三个点WA了2遍，再在14点WA了好几遍，最后又卡在了35点。最后心态几乎爆炸（内心OS：这可是一道水题啊），同样，同组的大佬们，也没发现有什么问题。就这样纠结着，最后将一个双重判定换了方向的思维的另一种判定，于是，终于是A了……此时时间已经在两小时之后了（比赛半程刚过）。
内心火急火燎得，也不知怎的其他两位大佬，竟然开始换顺序做，半小时过去，VHOS（太强了）竟然完成了G组题，然而不幸的是不能提交（辣鸡日本Vjudge）。这又是对我们心态的考验，于此同时半数以上的组早已经完成了3道了，我们的排名位置几乎已经可以看到榜底了。终于在最后的第三个小时————奇迹竟然出现了！
三小时十分钟！
C题！！AC！！
三小时三十分！
G题！！AC！！
此时我们的排名已经挤到了前十，4道AC，最多的大神组早完成了5题，我心有不甘，继续奋战，此时只剩唯我一人奋笔疾书……周围的人早已懈怠，不，还不能那么早。
努力的想着D题，dp方程却死也推不出来，最后十五分钟……
！！！哦！！！
突然有了想法，夺过键盘，最后13分钟！！！我知道这次我没有调试的时间了，只能要求自己一遍过，每个字都敲得小心翼翼，同时又得加快速度…………
3min！2min！！
敲完了！！！样例一过，直接提交，不敢浪费每一分钟！！！
竟然成功AC了！！！！！同组的大佬高兴的欢呼！！我做到了！！！
当自己平静下来时，我才发现自己的身体一直在颤抖，心跳十分的快。
最后我们虽然罚时很久，但是最终也以唯一AC 6道的好成绩位居了榜首，十分不易啊！！

（P.S:最后从岳神和刘大佬的钱包里成功坑到一顿KFC）o(●ˇ∀ˇ●)o

下面是对这几天所学内容的总结，逐条枚举：（其实很多口胡一波，并不能上手当场码题）
1、KMP （俗称“看*片算法”）   （一%飞神）
这是由三位大神同时发现的一种改进字符串匹配的算法（%%%），KMP算法的关键是利用匹配失败后的信息，尽量减少模式串与主串的匹配次数以达到快速匹配的目的。具体实现就是实现一个next()函数，函数本身包含了模式串的局部匹配信息。（强行解释一波失配函数）
上波代码：
int KMP(string W,string T){
    int i=1,j=1;
    while(i<=n){
        while (j!=0&&W[j]!=T[i]) j=next[j];
        if(j==m) return i-m+1;//匹配成功，返回匹配位置s
        else{j++; i++;}
    }
    return -1;//匹配失败
}
void GetNext(charT[],intnext[]){
next[1]=0;
j=1;k=0;
while(j<T[0])
    if((k==0)||(T[j]==T[k])){
      j++;
      k++;
      next[j]=k;
}
   else k=next[k];
}
（其实并不太清楚它到底具体有什么用）=v=

2、数论、定理（一堆奇奇怪怪的东西）（边打边复习）
首先上场的是唯一分解和lcm、gcd（这货贼重要），由此引申的是欧几里得和扩展欧。

//威尔逊定理//：它给出了判定一个自然数是否为素数的充分必要条件，就是当且仅当p为素数时：(p-1)!≡-1(mod p)，但是由于阶乘是增长的速度实在是…………（所以结论对于实际操作意义不大，感觉说了废话）

//小费马//：假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么a(p-1)≡1(mod p)（强制使用了一波gcd）（其中gcd为1代表互质）（结果证明出来了）（该同余式可以转为ap≡p(mod p)，不知道写的对不对，好像提到过）

//欧拉函数与定理//：emmm，这玩意我实在不是很懂,认识了一下φ(fai)，还有欧拉定理：若gcd(a,p)=1，则a^φ(p)≡1(mod p)。

//关于这些定理的例题使用//：不太熟练，不献丑=w=，学习大神们的写法，费力的理解啊啊啊…………

3、manacher （二%飞神）
这个和KMP一样，是关于字符串的一种算法，主要针对回文串。以O（n）的时间复杂度以每个字符为中心，以回文串单程长度，将所取字符串扩展一倍。如果是奇数串就能顺利进行，如果偶数串，那必须插入奇怪的字符。但这种算法的神奇之处在于可以同时考虑奇串和偶串。（但不能拆坏原字符串）

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define rep(i, n) for (int i = 0; i < n; ++i)

char S[11000000];

int pal[22000000];

int main() {

fread(S, 1, 11000000, stdin);

int N = strlen(S);

int l = -1, r = -1, ans = 0;

rep(z, 2 * N - 1) {

int i = (z + 1) >> 1;

int j = z >> 1;

int p = i >= r ? 0 : min(r - i, pal[2 * (l + r) - z]);

while (j + p + 1 < N && i - p - 1 >= 0 && S[j + p + 1] == S[i - p - 1]) ++p;

if (j + p > r) {

r = j + p;

l = i - p;

}

pal[z] = p;

ans = max(ans, !(z & 1) + p * 2);

}

printf("%d\n", ans);

}

代码(￣▽￣)"

4、状压DP
好吧，我承认位运算我实在是烂透了，完全没记住，差点听成大弱智╮(╯-╰)╭ 。表示状压列举的子集既能完全枚举，还能节约不必要列举的时间……（来自萌新的神奇(⊙o⊙)）

5、树的LCA （求树两点之间的最短路）
先从树的dfs序入手，展开倍增（看得懂，表示不会写……），tarjan（竟然基于冰茶几（并查集）！！），RMQ，emmm（回去重新学习连通分量）。
（不好随便口胡=-=，决定翻工学习）

//树的dfs

void dfs(intx,int father)

{

v[x]=1;

//邻接表枚举i的每个相邻节点

for (inti=Link[x];i;i=e[i].next)

{

int y=e[i].y;

if (y!=father) dfs(y,x);

}

intpos;//记录重心的编号

void dfs(intx,int father){

v[x]=1; size[x]=1;

int Maxp=0;

//邻接表枚举i的每个相邻节点

for (inti=Link[x];i;i=e[i].next) {

int y=e[i].y;

if (y!=father) {

dfs(y,x);

size[x]+=size[y];

Maxp=max(Maxp,size[y]);

}

}//forend

Maxp=max(Maxp,n-size[x]);

if(Maxp<ans){

ans=Maxp;

pos=x;

}

}//重心

//LCA

void dfs(int x,int fa)

{

flag[x]=1;

for(int i=link_ask[x];i;i=ask[i].next)

{

int tn=ask[i].y;

if(!flag[tn]) continue;

int ancest=get_father(tn);

printf("%d and %d'LCA is %d\n",x,I,ancest); //也可以用数组存起来

}

for(int i=Link[x];i;i=e[i].next)

{

int tn=e[i].y;

if(tn==fa) continue;

dfs(tn,x);

}

father[x]=fa;

}

//RMQ

6、差分（一起讲了差分约束吧）
差分所擅长做的就是把a数组中l~r范围内的数加上或减去某个k值，这样只要求前缀和，运用差分就只要求前缀和，就能在O（n）的时间内得到整个数组的值。
差分约束嘛，是基于图论知识SPFA和判环的，比如我们得到a[x]<a[y]这样的关系不等式，然后某个源点给你初值……这种可以用差分约束来做，跑最短或最长路。同时我们还得学会三角形迭代关系不等式 dis[i]+len<dis[j] 。同时学习到万能源点这个神奇的东西，就是在一个分开的图中，在图外额外建立一个不会影响解题的入度为0的点来连接这些分离的路径。（按我的理解吧，差分约束，差分就是指：a-b=10这种，我们可以拆成a-b<=10,a-b>=10，这就是约束（条件），而如果题目给你a>b||a<b这样，你可以变成a>=b+1||a+1<=b 这也许就是差分吧）
(每日胡扯)(●'◡'●)
（%%% @hzk_cpp dalao）

//优秀的差分

7、trie树（图）、AC自动机
这两个我没怎么听懂=_=，还是一脸蒙蔽，慢慢理解吧，不敢瞎说……（不过还是要三%飞神）

//偷个AC自动机的码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define rep(i, n) for (int i = 0; i < (n); ++i)

struct node_t {

node_t* fail;

node_t* next[26];

int cnt;

};

node_t mem[1000010], *pool = mem;

node_t* que[1000010];

char S[1000010], T[1000010];

int main() {

int N;

scanf("%d", &N);

node_t* root = pool++;

// 建立 Trie 树

rep(i, N) {

scanf("%s", T);

int L = strlen(T);

node_t* o = root;

rep(j, L) {

node_t*& v = o->next[T[j] - 'a'];

if (!v) v = pool++;

o = v;

}

o->cnt++;

}

// 构造失配指针

int qt = 0;

rep(c, 26) {

if (root->next[c]) {

root->next[c]->fail = root; // 与 kmp 的失配数组类似，模板串第一个字符的失配指针指向根节点

que[qt++] = root->next[c];

} else {

root->next[c] = root; // 根节点的空子节点直接指向根节点

}

rep(qh, qt) {

node_t* o = que[qh];

rep(c, 26) {

if (o->next[c]) {

o->next[c]->fail = o->fail->next[c];

que[qt++] = o->next[c];

} else {

o->next[c] = o->fail->next[c]; // 技巧：若一个点是空的，就把它指向若干次跳转后的 fail 节点的子节点

}

// 匹配

scanf("%s", S);

int L = strlen(S);

node_t* o = root;

int ans = 0;

rep(i, L) {

o = o->next[S[i] - 'a'];

for (node_t* v = o; v != root; v = v->fail) {

// 沿着失配指针跳到根节点，把路径上的所有 cnt 加起来就是当前后缀匹配到的模板串个数

// 记得不要移动当前结点

if (v->cnt == -1) break; // 该节点和上方的都已经加过了

ans += v->cnt;

v->cnt = -1; // 避免重复计算

}

printf("%d\n", ans);

}

8、树状数组（好东西）
树的函数结构什么的实在是太麻烦了，光建一棵树都快累的够呛了，还常常养死……这怎么办呢……emmmmm，有时树状数组是很优秀的解法。先定义一个lowbit函数 x&-x 取从右数起第一位1，这样可以枚举所有子集，同时也能使程序更高效。修改其中某个量复杂度是O(n)，而查询竟然只要O(1)（神奇的算法）。
（总而言之，运用树的概念，然后用数组来进行操作，感觉修改操作有点类似于差分的感觉）

这是张神奇的图（很重要!）

9、左偏树（概念好多，详细记录）
左偏树是一棵不平衡的树，和它的名字一样，果真向左偏。
这是左偏树的几条性质：
一、左偏树的每个节点的左右子树都是一棵左偏树。
二、节点的距离为他右子节点的距离加1。
三、如果一棵左偏树的距离一定，则节点最少的左偏树是完全二叉树。
四、一棵距离为k左偏树，至少有2k+1-1个节点。
五、一棵N个节点的左偏树，距离最大log(N+1)-1
它的键值基于堆的性质，从这里，我们顺带过了一遍二叉堆的写法（只能说是过，不能说是学习，因为……实在写不出，鸭梨山大QAQ），左偏树每个节点的键值小于等于它左右子节点的键值，类似于小根堆的东东。
再来看看距离（满足左偏性质）的概念：首先先看外节点，外节点是一个左子树或右子树不存在的（空）节点。我们把空节点的距离都设为了-1，外节点都设为0。然后某个节点的距离就是它到儿子中，（到最近的外节点）经过的边数（emmm，写不出准确的学术论文ORZ）（参考ppt与总结）
左偏树所支持的操作：
一、初始化一棵空的左偏树 (New)
二、插入一个节点 (Insert) O(log(n))
三、查询最小节点 (Ask_min) O(1)
四、删除最小节点 (Delete_min) O(log(n))
五、删除一个已知节点 (Delete) O(log(n))
六、合并两棵左偏树 (Merge)（基于递归）O(log(n))
合并：由于左偏性质，如果A的键值小于B（草率的类比于，A为小根堆顶），就把B和A的右子树合并，然后检查，如果右子树的距离大于左子树，就交换A的左右子树，并更新A节点的距离。
当然其中如果有空树，就返回另一棵存在的树。
而与此同时，由于左偏树的合并操作会沿着最右边的路径进行，所以，我们只要把最右边边数-1，欸，这就是左偏树的距离了。emmmm，另外学习到一棵N节点的左偏树，距离最多为log(n+1)-1，经过边数最多为log(n+1)，所以时间复杂度是log级别的（优秀而神奇的算法！）
其他操作复杂度不一一写了，恕我比较懒QWQ
左偏树安利blog https://wenku.baidu.com/view/25a2fb85ec3a87c24028c4b5.html

//写博客期间偷偷重学了连通分量，嘿嘿~
//期间还去了上交大和上纽大参观，忙中偷闲~

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