一、离散信号–序列

离散时间信号x(n)可以看成时对模拟信号x(t)的等间隔抽样。表示为：

二、序列的运算

1、移位：x(n)，x(n-m)是指序列右移m位。
2、翻褶：序列x(n)，x(-n)是以n=0的纵轴为对称轴翻褶
3、和：同序列号n的序列值相加
4、积：同序列号n的序列值逐项对应相乘,z(n)=x(n)y(n)
5、累加： y ( n ) = ∑ k = − ∞ n x ( k ) y(n)=\sum_{k=-\infty}^n{x(k)} y(n)=∑k=−∞nx(k)
6、差分运算：
前向差分： Δ x ( n ) = x ( n + 1 ) − x ( n ) \Delta{x(n)}=x(n+1)-x(n) Δx(n)=x(n+1)−x(n)
后向差分： ∇ x ( n ) = x ( n ) − x ( n − 1 ) \nabla{x(n)} = x(n)-x(n-1) ∇x(n)=x(n)−x(n−1)
得： ∇ x ( n ) = Δ x ( n − 1 ) \nabla{x(n)} = \Delta{x(n-1)} ∇x(n)=Δx(n−1)
理解：本次的后向差分等于上一次的前向差分
7、序列时间的尺度变换
(1)抽取
x d ( n ) = x ( D n ) xd(n)=x(D_n) xd(n)=x(Dn)表示从序列x(n)的每连续D个抽样值中取出一个组成的新序列。
理解：以1/D倍的抽样频率（fs/D）对原连续信号进行抽样，相当于将抽样时间间隔由T变成DT。
(2)零值插入
把原序列的两个相邻抽样值之间插入（I-1）个零值（I为整数）

三、卷积

y ( n ) = ∑ m = − ∞ ∞ x ( m ) h ( n − m ) = x ( n ) ∗ h ( n ) y(n)=\sum_{m=-\infty}^\infty{x(m)h(n-m)}=x(n)*h(n) y(n)=∑m=−∞∞x(m)h(n−m)=x(n)∗h(n)
卷积运算满足交换律和分配率
意义理解：输入信号x(n),信号在系统的输出权重为h(n),在该时间段内，系统总响应为y(n).
某一时刻m输入信号x(m)，在时刻m之后（即n-m时间段内）系统输出的和（在m之后的时间内，信号在系统内的作用变化为h(n-m)）为该时刻的输入信号在这个时间段内的系统响应。
计算方法：
（1）图解加上解析的方法
（2）列表方法: 翻褶、移位、相乘、相加
（3）对位相乘加法
（4）向量矩阵乘法
注：时域相乘，频域卷积。时域卷积，频域相乘

四、序列的相关性

相关是指：两个确定信号或随机信号之间的相互关系。
互相关函数：
r x y ( m ) = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) y ( n − m ) r_{xy}(m)=\sum_{n=-\infty}^\infty{x(n)y(n-m)} rxy(m)=n=−∞∑∞x(n)y(n−m)

五、典型序列

5.1、单位抽样序列

5.2、单位阶跃序列

δ ( n ) = u ( n ) − u ( n − 1 ) \delta(n)=u(n)-u(n-1) δ(n)=u(n)−u(n−1)
意义理解：
δ(n)是u(n)的后向差分，u(n)为系统的输出总响应，那么δ(n)为系统第n时刻的输出响应。
u ( n ) = ∑ k = − ∞ n δ ( k ) u(n) = \sum_{k=-\infty}^n{\delta(k)} u(n)=∑k=−∞nδ(k)
将任意时刻的系统响应δ(n)全部加起来即为系统的总响应u(n)。

六、序列的周期性

如果对所有n存在一个最小的正整数N，满足
x(n)=x(n+N)
则称x(n)是周期性序列，周期为N。

七、用单位抽样序列来表示任意序列

单位抽样序列 δ ( n ) \delta(n) δ(n)对于分析线性移不变系统是很有用的。将任意序列表示成单位抽样序列的移位加权和（即卷积）
x ( n ) = ∑ m = − ∞ ∞ x ( m ) δ ( n − m ) = x ( n ) ∗ δ ( n ) x(n)=\sum_{m=-\infty}^\infty{x(m)\delta(n-m)}=x(n)*\delta(n) x(n)=∑m=−∞∞x(m)δ(n−m)=x(n)∗δ(n)
换一种意义上的理解：
n时刻的信号x(n)经过系统，在系统中的作用效果变化为（即信号x(n)只有在n时刻有效果，在其他时刻是无作用）。输入信号x(n)的所有时刻在系统中的输出响应的总和还是x(n)

八、序列的能量

序列x(n)的能量E定义为序列各抽样值的平方和，即
E = ∑ n = − ∞ ∞ ∣ x ( n ) ∣ 2 E=\sum_{n=-\infty}^\infty{|x(n)|^2} E=n=−∞∑∞∣x(n)∣2

九、连续时间信号抽样

当τ->0的极限情况，抽样脉冲序列p(t)变成冲激函数序列 δ τ ( t ) \delta_{\tau}(t) δτ(t)
δ τ ( t ) = ∑ m = − ∞ ∞ δ ( t − m T ) \delta_{\tau}(t)=\sum_{m=-\infty}^\infty{\delta(t-mT)} δτ(t)=m=−∞∑∞δ(t−mT)
理想抽样输出 x ^ a ( t ) = x a ( t ) ∗ δ τ ( t ) \hat{x}_a(t)=x_a(t)*\delta_{\tau}(t) x^a(t)=xa(t)∗δτ(t)
将抽样频率的之半(fs/2)称为折叠频率
得出结论：若xa(t)是频带宽度有限的，要想抽样后x(n)=xa(nT)能够不失真地还原出原信号xa(t),则抽样频率必须大于或等于两倍信号谱的最高频率，这就是奈奎斯特定理。即fs=2fh。

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