Hybrid beamforming 下 MSE 的推导

我们令 HHH为等效信道， RRR为模拟阵VRFV_{RF}VRF的简写。 VVV为数字阵的简写。

目标函数为：

MSE=tr(VHRHHHHRV−HHRV−VHRHH+σ2wβ−2+I)MSE = \mathrm{tr}(V^HR^HHH^HRV - H^HRV - V^HR^HH + \sigma^2w\beta^{-2} + I)MSE=tr(VHRHHHHRV−HHRV−VHRHH+σ2wβ−2+I)

其中 www 是和接收端有关的一个常量。优化变量为 VVV 和 β\betaβ，我们认为RRR暂时固定。

限制条件为：

tr(RVVHRH)≤β−2\mathrm{tr}(RVV^HR^H)\le \beta^{-2}tr(RVVHRH)≤β−2

通过拉格朗日乘数法，得到拉格朗日函数为:

L=tr(VHRHHHHRV−HHRV−VHRHH+σ2wβ−2+I)+λ(tr(RVVHRH)−β−2)L = \mathrm{tr}(V^HR^HHH^HRV - H^HRV - V^HR^HH + \sigma^2w\beta^{-2} + I) + \lambda (\mathrm{tr}(RVV^HR^H) - \beta^{-2})L=tr(VHRHHHHRV−HHRV−VHRHH+σ2wβ−2+I)+λ(tr(RVVHRH)−β−2)
根据KKT条件，需要满足：∂L∂β=0\frac{\partial L}{\partial \beta}=0∂β∂L=0 和 ∂L∂V=0\frac{\partial L}{\partial V}=0∂V∂L=0，分别可得：
λ=σ2wV=(RHHHHR+λRHR)−1RHH\lambda = \sigma^2w\\ V = (R^HHH^HR + \lambda R^HR)^{-1}R^HHλ=σ2wV=(RHHHHR+λRHR)−1RHH

令 T=(RHHHHR+λRHR)T= (R^HHH^HR + \lambda R^HR)T=(RHHHHR+λRHR), 注意到：

0=(V−T−1RHH)HT(V−T−1RHH)=(VHT−HHR)(V−T−1RHH)=VHTV−VHRHH−HHRV+HHRT−1RHH=VHRHHHHRV+λVHRHRV−VHRHH−HHRV+HHRT−1RHH0=(V-T^{-1}R^HH)^HT(V-T^{-1}R^HH)=(V^HT -H^HR)(V-T^{-1}R^HH)\\ =V^HTV - V^HR^HH - H^HRV + H^HRT^{-1}R^HH\\ =V^HR^HHH^HRV + \lambda V^HR^HRV- V^HR^HH - H^HRV + H^HRT^{-1}R^HH 0=(V−T−1RHH)HT(V−T−1RHH)=(VHT−HHR)(V−T−1RHH)=VHTV−VHRHH−HHRV+HHRT−1RHH=VHRHHHHRV+λVHRHRV−VHRHH−HHRV+HHRT−1RHH

而对比之下，发现
MSE=tr(0+I−HHRT−1RHH)=tr(I−HHRT−1RHH)MSE = \mathrm{tr}(0 + I - H^HRT^{-1}R^HH)= \mathrm{tr}( I - H^HRT^{-1}R^HH)MSE=tr(0+I−HHRT−1RHH)=tr(I−HHRT−1RHH)

根据求逆准则：

(A−UD−1V)−1=A−1+A−1U(D−VA−1U)−1VA−1\left(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{U} \boldsymbol{D}^{-1} \boldsymbol{V}\right)^{-1}=\boldsymbol{A}^{-1}+\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{U}\left(\boldsymbol{D}-\boldsymbol{V} \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{U}\right)^{-1} \boldsymbol{V} \boldsymbol{A}^{-1} (A−UD−1V)−1=A−1+A−1U(D−VA−1U)−1VA−1

可知：

MSE=tr(0+I−HHRT−1RHH)=tr(I−HHRT−1RHH)=tr((I+HHR(RHR)−1RHH)−1)MSE = \mathrm{tr}(0 + I - H^HRT^{-1}R^HH)= \mathrm{tr}( I - H^HRT^{-1}R^HH)=\mathrm{tr}( (I +H^HR(R^HR)^{-1}R^HH)^{-1})MSE=tr(0+I−HHRT−1RHH)=tr(I−HHRT−1RHH)=tr((I+HHR(RHR)−1RHH)−1)

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