Description

小 P 是个幼儿园老师。有一天，他组织 nnn 个小朋友玩游戏。游戏开始时，每个小朋友伸出两只手，没有手相互拉在一起。
每次，小 P 等概率随机挑选两只空着的手，让这两只手拉在一起。小 P 一直重复这个操作，直到所有的手都拉在一起。
小 P 在成为幼儿园老师之前是个数学专业的博士。因此，他想知道，当所有的手都拉在一起之后，
小朋友们拉成的圈个数的期望是多少？其中，我们规定，一个小朋友左手拉右手的情况也形成一个圈。

由于小 P 忙着和小朋友们玩游戏，他找到了聪明的你，希望你能帮他解决这个问题。

对于 100% 的数据：1≤n≤10181 \le n \le 10^{18}1≤n≤1018。

Solution

非常巧妙的一道题

考虑期望的线性性，我们发现只有第i个小朋友自己牵自己的手才会产生新的环，这样的概率是 1 2 i − 1 \frac{1}{2i-1} 2i−11
于是答案为 ∑ i = 1 n 1 2 i − 1 \sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{2i-1} i=1∑n2i−11，这样for有70’
考虑求 ∑ i = 1 n 1 n \sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{n} i=1∑nn1这个东西，一个近似的解是 ln ⁡ ( n ) + c \ln(n)+c ln(n)+c，其中c是欧拉常数
然后我们求其中的奇数项就用总的减去偶数项，而偶数项就是总的一半/2
然后就可以O(1)了

Code

口胡题解不写code

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