一、理论基础

1、基本灰狼优化算法

请参考这里。

2、改进灰狼优化算法(CGWO)

（1）基于余弦规律变化的收敛因子

本文提出了一种基于余弦规律变化的收敛因子，其修正表达式为：a={afinal+(ainitial−afinal)1+∣cos((t−1)π/(tmax⁡−1))∣n2,t≤12tmax⁡afinal+(ainitial−afinal)1−∣cos((t−1)π/(tmax⁡−1))∣n2,12tmax⁡<t≤tmax⁡(1)a=\begin{dcases}a_{\text{final}}+(a_{\text{initial}}-a_{\text{final}})\frac{1+|cos((t-1)\pi/(t_{\max}-1))|^n}{2},\quad \quad t≤\frac12t_{\max}\\a_{\text{final}}+(a_{\text{initial}}-a_{\text{final}})\frac{1-|cos((t-1)\pi/(t_{\max}-1))|^n}{2},\frac12t_{\max}<t≤t_{\max}\end{dcases}\tag{1}a=⎩⎪⎨⎪⎧afinal+(ainitial−afinal)21+∣cos((t−1)π/(tmax−1))∣n,t≤21tmaxafinal+(ainitial−afinal)21−∣cos((t−1)π/(tmax−1))∣n,21tmax<t≤tmax(1)其中，ainitiala_{\text{initial}}ainitial和afinala_{\text{final}}afinal为收敛因子aaa的初始值和最终值，本文取ainitial=2,afinal=0a_{\text{initial}}=2,a_{\text{final}}=0ainitial=2,afinal=0，ttt为当前迭代次数，tmax⁡t_{\max}tmax为最大迭代次数，nnn为递减指数，0<n≤10<n≤10<n≤1。aaa的变化图如图1所示。

图1 收敛因子变化图

由图1可以看出，原始收敛因子aaa的图像是线性递减的，在迭代过程中以相同的速率减小，而改进后收敛因子aaa的图像是一条基于余弦规律变化的曲线，在迭代初期减小的较慢，使得收敛因子aaa较长时间保持较大值，从而使AAA保持较大值的时间长些，以提高搜索效率；迭代后期减小的较快，使得aaa较长时间保持较小值，从而使AAA保持较小值的时间长些，以提高搜索精度。因此，平衡了算法的全局搜索和局部搜索能力。

（2）引入动态权重策略

本文动态权重策略表达式如下：W1=∣X1∣∣X1∣+∣X2∣+∣X3∣,W2=∣X2∣∣X1∣+∣X2∣+∣X3∣W3=∣X3∣∣X1∣+∣X2∣+∣X3∣(2)\begin{aligned}&W_1=\frac{|X_1|}{|X_1|+|X_2|+|X_3|},W_2=\frac{|X_2|}{|X_1|+|X_2|+|X_3|}\\&W_3=\frac{|X_3|}{|X_1|+|X_2|+|X_3|}\end{aligned}\tag{2}W1=∣X1∣+∣X2∣+∣X3∣∣X1∣,W2=∣X1∣+∣X2∣+∣X3∣∣X2∣W3=∣X1∣+∣X2∣+∣X3∣∣X3∣(2)X(t+1)=W1⋅X1+W2⋅X2+W3⋅X33(3)X(t+1)=\frac{W_1\cdot X_1+W_2\cdot X_2+W_3\cdot X_3}{3}\tag{3}X(t+1)=3W1⋅X1+W2⋅X2+W3⋅X3(3)其中W1W_1W1、W2W_2W2、W3W_3W3分别表示ω\omegaω狼对α\alphaα、β\betaβ、δ\deltaδ狼的学习率。

（3）CGWO算法步骤

综合以上改进策略描述，给出本文所提出的改进灰狼优化算法(CGWO)的步骤：
步骤1 设置种群规模NNN，最大迭代次数tmax⁡t_{\max}tmax，随机生成aaa、AAA、CCC等参数。
步骤2 在搜索空间内随机初始化灰狼种群。
步骤3 计算种群中所有灰狼个体的适应度值，并按照适应度值进行排序，选择前三个最好的狼，记录其位置XαX_\alphaXα、XβX_\betaXβ和XδX_\deltaXδ。
步骤4 利用改进公式更新种群中其他灰狼个体的位置。
步骤5 利用对应公式计算aaa、AAA、CCC的值。
步骤6 判断算法是否满足结束条件，若达到预定的最大迭代次tmax⁡t_{\max}tmax，则停止计算，输出最优位置XαX_\alphaXα，否则，重复执行步骤3~步骤5。

二、仿真实验与分析

利用CGWO算法对文献[1]中8个基准测试函数进行求解，并与文献[2-5]中提出的算法进行比较。算法独立运行30次，各算法的种群规模均为30，最大迭代次数为500。
结果显示如下：

函数：F1
GWO-EPD：最差值: 9.7292e-22,最优值:2.3986e-24,平均值:2.0545e-22,标准差:2.7514e-22
IGWO：最差值: 1.6263e-309,最优值:4.9407e-324,平均值:5.9328e-311,标准差:0
SquareGWO：最差值: 3.0202e-27,最优值:3.3183e-30,平均值:3.7301e-28,标准差:7.9665e-28
NGWO：最差值: 2.1403e-38,最优值:2.9888e-42,平均值:2.3859e-39,标准差:4.6945e-39
CGWO：最差值: 0,最优值:0,平均值:0,标准差:0
函数：F2
GWO-EPD：最差值: 6.4988e-14,最优值:5.8302e-15,平均值:2.5991e-14,标准差:1.6354e-14
IGWO：最差值: 1.2799e-161,最优值:2.2563e-168,平均值:5.4705e-163,标准差:2.2228e-162
SquareGWO：最差值: 2.9131e-16,最优值:5.3589e-18,平均值:6.6655e-17,标准差:6.4676e-17
NGWO：最差值: 3.9176e-23,最优值:1.352e-24,平均值:8.1805e-24,标准差:8.531e-24
CGWO：最差值: 1.7809e-209,最优值:1.3611e-210,平均值:6.5336e-210,标准差:0
函数：F3
GWO-EPD：最差值: 10.1572,最优值:0.0023604,平均值:1.1342,标准差:1.8647
IGWO：最差值: 1.1132e-244,最优值:1.982e-288,平均值:3.7106e-246,标准差:0
SquareGWO：最差值: 4.622e-05,最优值:4.7863e-09,平均值:4.5716e-06,标准差:1.1409e-05
NGWO：最差值: 4.0729,最优值:7.5363e-07,平均值:0.22672,标准差:0.77176
CGWO：最差值: 0,最优值:0,平均值:0,标准差:0
函数：F4
GWO-EPD：最差值: 0.033491,最优值:9.6277e-05,平均值:0.0052167,标准差:0.0071424
IGWO：最差值: 8.8119e-153,最优值:1.6888e-160,平均值:3.2908e-154,标准差:1.61e-153
SquareGWO：最差值: 2.9766e-06,最优值:1.0108e-07,平均值:6.4997e-07,标准差:6.0974e-07
NGWO：最差值: 9.284e-06,最优值:3.7248e-08,平均值:1.1933e-06,标准差:1.8924e-06
CGWO：最差值: 1.1055e-205,最优值:6.3099e-207,平均值:4.8366e-206,标准差:0
函数：F5
GWO-EPD：最差值: 0.019119,最优值:0.0029447,平均值:0.007505,标准差:0.0032748
IGWO：最差值: 0.97749,最优值:6.467e-06,平均值:0.39353,标准差:0.36538
SquareGWO：最差值: 0.0055663,最优值:0.0002296,平均值:0.0019564,标准差:0.0012064
NGWO：最差值: 0.017702,最优值:0.0043719,平均值:0.0094174,标准差:0.0038675
CGWO：最差值: 0.00029002,最优值:5.573e-07,平均值:6.519e-05,标准差:7.6745e-05
函数：F6
GWO-EPD：最差值: 49.9148,最优值:6.7953,平均值:22.2049,标准差:9.1694
IGWO：最差值: 0,最优值:0,平均值:0,标准差:0
SquareGWO：最差值: 9.9225,最优值:0,平均值:2.0783,标准差:2.8452
NGWO：最差值: 88.9162,最优值:12.1134,平均值:68.4603,标准差:15.88
CGWO：最差值: 0,最优值:0,平均值:0,标准差:0
函数：F7
GWO-EPD：最差值: 6.1506e-12,最优值:4.2366e-13,平均值:1.9166e-12,标准差:1.3957e-12
IGWO：最差值: 7.9936e-15,最优值:8.8818e-16,平均值:3.9672e-15,标准差:2.234e-15
SquareGWO：最差值: 1.2879e-13,最优值:7.5495e-14,平均值:9.3732e-14,标准差:1.6683e-14
NGWO：最差值: 4.1179,最优值:7.9936e-15,平均值:2.3136,标准差:1.9361
CGWO：最差值: 4.4409e-15,最优值:8.8818e-16,平均值:4.3225e-15,标准差:6.4863e-16
函数：F8
GWO-EPD：最差值: 0.039039,最优值:0,平均值:0.0049766,标准差:0.010814
IGWO：最差值: 0,最优值:0,平均值:0,标准差:0
SquareGWO：最差值: 0.030517,最优值:0,平均值:0.0025555,标准差:0.0078796
NGWO：最差值: 0.024006,最优值:0,平均值:0.01039,标准差:0.010704
CGWO：最差值: 0,最优值:0,平均值:0,标准差:0

由上述比较结果可以看出，与GWO-EPD算法、IGWO算法、SquareGWO算法和NGWO算法相比，CGWO算法具有更高的求解精度和更好的稳定性。

三、参考文献

[1] 王秋萍, 王梦娜, 王晓峰. 改进收敛因子和比例权重的灰狼优化算法[J]. 计算机工程与应用, 2019, 55(21): 60-65.
[2] Saremi, S., Mirjalili, S.Z., Mirjalili, S.M. Evolutionary population dynamics and grey wolf optimizer[J]. Neural Computing and Applications, 2015, 26: 1257-1263.
[3] 徐辰华, 李成县, 喻昕, 等. 基于Cat混沌与高斯变异的改进灰狼优化算法[J]. 计算机工程与应用, 2017, 53(4): 1-9.
[4] 魏政磊, 赵辉, 李牧东, 等. 控制参数值非线性调整策略的灰狼优化算法[J]. 空军工程大学学报(自然科学版), 2016, 17(3): 68-72.
[5] 王敏, 唐明珠. 一种新型非线性收敛因子的灰狼优化算法[J]. 计算机应用研究, 2016, 33(12): 3648-3653.

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