五种常见启发式算法求解TSP问题-总结篇

1. 前言

本文将总结先前设计的五个启发式算法的求解效果，算法文章如下表：

智能优化算法类别	启发式算法求解TSP问题系列博文
进化算法	遗传算法求解TSP问题
仿人智能优化算法	禁忌搜索算法求解TSP问题
仿自然优化算法	模拟退火算法求解TSP问题
群智能优化算法	蚁群算法求解TSP问题
群智能优化算法	粒子群算法求解TSP问题

上述博文中所采用的例子是随机在（0,101）二维坐标平面上生成的20个城市数据，五种常见启发式算法在此例子上均能取得较好的表现，为了进一步对比算法求解的效果，本文将扩大城市规模进行算法测试，即随机在（0,101）二维坐标平面上生成50个城市数据。

#随机生成城市数据代码，CityNum、MinCoordinate、MaxCoordinate三个参数可调节
CityNum = 50#城市数量
MinCoordinate = 0#二维坐标最小值
MaxCoordinate = 101#二维坐标最大值
CityCoordinates = [(random.randint(MinCoordinate,MaxCoordinate),random.randint(MinCoordinate,MaxCoordinate)) for i in range(CityNum)]#20个城市数据
CityCoordinates = [(88, 16),(42, 76),(5, 76),(69, 13),(73, 56),(100, 100),(22, 92),(48, 74),(73, 46),(39, 1),(51, 75),(92, 2),(101, 44),(55, 26),(71, 27),(42, 81),(51, 91),(89, 54),(33, 18),(40, 78]#50个城市数据
CityCoordinates = [(71, 71),(68, 71),(19, 41),(9, 67),(22, 34),(15, 2),(60, 56),(36, 38),(18, 92), (96, 27),(71, 85),(24, 70),(12, 31),(77, 88),(59, 49),(27, 87),(94, 97),(37, 42),(32, 78),(65, 57), (96, 47),(95, 86),(61, 80),(55, 7),(94, 74),(39, 6),(62, 43),(34, 11),(18, 89),(79, 16),(100, 99),(76, 39),(35, 51),(74, 71),(59, 48),(98, 1),(35, 98),(82, 91),(0, 64),(56, 48),(89, 8),(69, 54),(3, 72),(79, 16),(66, 88),(80, 15),(56, 88),(30, 57),(67, 86),(75, 4)]

2. 算法求解效果分析与讨论

以下采用50个城市数据进行分析，只调节算法参数，不更改算法设计，具体设计可参考原博文。

#50个城市数据，编号分别为0,1,...,49
CityCoordinates = [(71, 71),(68, 71),(19, 41),(9, 67),(22, 34),(15, 2),(60, 56),(36, 38),(18, 92), (96, 27),(71, 85),(24, 70),(12, 31),(77, 88),(59, 49),(27, 87),(94, 97),(37, 42),(32, 78),(65, 57), (96, 47),(95, 86),(61, 80),(55, 7),(94, 74),(39, 6),(62, 43),(34, 11),(18, 89),(79, 16),(100, 99),(76, 39),(35, 51),(74, 71),(59, 48),(98, 1),(35, 98),(82, 91),(0, 64),(56, 48),(89, 8),(69, 54),(3, 72),(79, 16),(66, 88),(80, 15),(56, 88),(30, 57),(67, 86),(75, 4)]

2.1 遗传算法

#GA参数
generation = 1000  #迭代次数
popsize = 100   #种群大小
tournament_size = 5 #锦标赛小组大小
pc = 0.95   #交叉概率
pm = 0.1    #变异概率

最优解为[25, 27, 5, 12, 2, 4, 7, 17, 32, 47, 38, 42, 3, 11, 18, 36, 15, 28, 8, 46, 44, 48, 37, 10, 22, 19, 6, 39, 26, 34, 14, 41, 24, 21, 16, 30, 13, 33, 1, 0, 31, 20, 9, 35, 40, 49, 43, 29, 45, 23]，其适应度值为681.3，路径图和迭代效果如下：

【讨论】对比其他几个算法的求解效果，可以发现遗传算法求解表现最差，算法后期迭代收敛性较差，可能是迭代到一定程度种群多样性较低，解决该问题的一个方法是引入“灾变”，丰富种群多样性。在初始解构造上，也可以采用贪婪策略等加速求解过程。

2.2 禁忌搜索算法

'''这里采用贪婪算法构造初始解，随机构造初始解方法表现不佳。'''
#参数
iterMax = 500#迭代次数
iterI = 1#当前迭代次数
#PSO参数
birdNum = 100#粒子数量
w = 0.2#惯性因子
c1 = 0.4#自我认知因子
c2 = 0.4#社会认知因子

最优解为[38, 42, 28, 8, 15, 36, 46, 22, 44, 48, 10, 13, 37, 16, 30, 21, 24, 33, 0, 1, 41, 19, 6, 34, 14, 39, 26, 31, 20, 9, 35, 40, 45, 43, 29, 49, 23, 25, 27, 5, 12, 2, 4, 7, 17, 32, 47, 18, 11, 3]，其适应度值为563.5，路径图如下：

2.3 模拟退火算法

模拟退火算法有两个实现思路。
（1）思路一

'''思路一，采用贪婪算法构造初始解'''
#SA参数
Tend = 0.1
T = 100
beta = 0.99

最优解为[8, 28, 15, 18, 11, 47, 32, 17, 7, 4, 2, 12, 5, 27, 25, 23, 49, 45, 29, 43, 40, 35, 9, 20, 31, 26, 34, 14, 39, 6, 19, 41, 1, 0, 33, 10, 48, 44, 22, 46, 13, 37, 16, 30, 21, 24, 36, 3, 42, 38]，其适应度值为635.0，路径图和迭代图如下。

【讨论】这里存在一个问题：在第一次迭代之后就取得最优解，之后的搜索都是无效的（多次运行结果都是这样），深入分析后发现，是直接应用Metropolis准则所导致，裂解在random.random() < math.exp(-(new_value-value)/T)中被频繁接受(即math.exp(-(new_value-value)/T)概率太大导致，也与新解new_value和当前最优解value之差有很大关系），这导致搜索不具备趋向性（不在目前最优解附近寻优），收敛较差，随机性太强。亟待寻找替他合适函数改进/替代。

（2）思路二

'''思路二'''
#SA参数
Tend = 0.01
T = 100
beta = 0.98

最优解为[42, 3, 38, 11, 18, 15, 28, 8, 36, 46, 22, 48, 44, 10, 13, 37, 16, 30, 21, 24, 33, 0, 1, 19, 41, 6, 14, 34, 39, 26, 31, 20, 9, 45, 29, 43, 49, 40, 35, 23, 25, 27, 5, 12, 4, 2, 7, 17, 32, 47]，其适应度值为595.2，路径图如下：

2.4 蚁群算法

#参数
iterMax = 500#迭代次数
#ACO参数
antNum = 50#蚂蚁数量
alpha = 2#信息素重要程度因子
beta = 1#启发函数重要程度因子
rho = 0.2#信息素挥发因子
Q = 100.0#常数

最优解为[4, 2, 12, 5, 27, 25, 23, 49, 43, 45, 29, 40, 35, 9, 20, 31, 26, 39, 34, 14, 6, 19, 41, 33, 0, 1, 22, 48, 44, 10, 13, 37, 16, 30, 21, 24, 46, 28, 8, 15, 36, 18, 11, 3, 38, 42, 32, 47, 17, 7]，其适应度值为 625.7，路径图和迭代图如下：

【讨论】城市数量从20增加50，运算时间增加特别明显，50个数据运算时间了得有几个小时，其他的算法都是几分钟级别的。。。原因大概是算法设计导致的，原算法设计在每一次迭代中，针对每一只蚂蚁，有四个操作（如下面代码所示）：轮盘赌选择后续城市、计算适应度、更新当前蚂蚁信息素增量、更新转移概率，其中轮盘赌选择后续的操作效率是比较低的，或许可以尝试采用锦标赛算子减少计算量，其次每一只蚂蚁完成城市旅行后都进行更新蚂蚁信息素和更新转移概率，计算量也是比较大的，可以调整为每一代蚂蚁都完成城市旅行后在进行更新，这可以大大减少计算量，但是可能会影响收敛效果，亟待改进测试。

for i in range(antNum):#根据转移概率选择后续途径城市，并计算适应值antCityList[i] = select(antCityList[i],antCityTabu[i],trans_p)#轮盘赌选择后续城市fitList[i] = calFitness(antCityList[i],dis_matrix)#计算适应度，即路径长度pheromone = updatePheromone(pheromone,fitList[i],antCityList[i],rho,Q)#更新当前蚂蚁信息素增量trans_p = calTrans_p(pheromone,alpha,beta,dis_matrix,Q)#更新转移概率

2.5 粒子群算法

#参数
iterMax = 1000#迭代次数
#PSO参数
birdNum = 100#粒子数量
w = 0.2#惯性因子
c1 = 0.4#自我认知因子
c2 = 0.4#社会认知因子

最优解为[6, 14, 34, 39, 26, 31, 20, 9, 35, 40, 43, 45, 29, 49, 23, 25, 27, 5, 12, 2, 4, 7, 17, 32, 47, 11, 3, 38, 42, 28, 8, 15, 18, 36, 46, 22, 44, 48, 10, 13, 37, 16, 30, 21, 24, 33, 0, 1, 41, 19]，其适应度值为564.0，路径图和迭代图如下：

3. 总结

算法设计和参数的选择很大程度上影响优化算法的求解效果和效率，在比较算法效果的时候也应在特定的算法设计和参数组合下讨论。在本实验的五种算法求解中，20个城市数据基本都能取得较好的效果，当城市规模扩大到50时，求解效果最好的是禁忌搜索算法（563.5）和粒子群算法（564.0），模拟退火算法中，算法设计思路二取得不错的效果（595.2），而蚁群算法（ 625.7）和遗传算法（681.3）则表现不佳。当然，如果不采用贪婪算法构造初始解，禁忌搜索算法和模拟退火算法搜索解的效果也会大打折扣，反过来想，遗传算法和蚁群算法如果引入贪婪策略进行改进，求解质量上应该会较大的提升。

TSP系列目录

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