【排序专训】练习题士兵站队（中位数应用）解题报告

【问题描述】

　　在一个划分成网格的操场上，n个士兵散乱地站在网格点上。网格点由整数最表(x,y)表示。士兵可以沿着网格边上、下、左、右移动一步，但在同一时刻一个网格上只能有一名士兵。按照军官的命令，士兵们要整齐地列成一个水平队列，即排列成(x,y),(x+1,y),…,(x+n-1,y)。如何选择x,y的值，才能使士兵们以最少的总移动步数排成一列。

　　请计算使所有士兵排成一行需要的最少移动步数。


【输入格式】

　　第1行是士兵总数n。接下来的n行是士兵的初始位置，每行两个整数x和y。


【输出格式】

　　输出士兵排成一行需要的最少移动步数。

【输入样例】

5
1 2
2 2
1 3
3 -2
3 3


【输出样例】

8


【数据范围】

1<=n<=10000 -10000<=x,y<=10000

【来源】

《一本通》167页

解题思路：根据题意，要求所有士兵的最小移动步数，首先要找出他们需站成的水平队列的第一个坐标（x,y）。求该点的纵坐标y很容易，只需将所有士兵的坐标按纵坐标由小到大排序，他们纵坐标的中位数即为所求点的纵坐标y。然而要求该点的横坐标x，就需仔细思考，我们可以知道要使所有士兵的移动步数最小，那么每个士兵都应该移动到离自己最近的队列位置，但又不能插队，所以第一个士兵应该移动进队列的第一个位置，第二个士兵应该移动进队列的第二个位置……设每个士兵的横坐标按由小到大排序后为X0，X1，X2,……所以，我们可以得出所有士兵在x方向的移动步数为|X0-x|+|X1-(x+1)|+…+|Xn-1-(x+n-1)|，将该式子变形可得|X0-x|+|(X1-1)-x|+…+|(Xn-1-(n-1))-x|，可以发现，要使该式子最小，则x为X0,X1-1,X2-2,…,Xn-1-(n-1)的中位数。由此就可以找出水平队列的第一个坐标(x,y)，然后根据第一个士兵移动进队列的第一个位置，第二个士兵移动进队列的第二个位置……计算出移动步数即为最小移动步数。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<cmath>
using namespace std;
const int maxn=10005;
int N;
struct data
{int x,y;
};
data a[maxn],b[maxn];
bool cmp1(data aa,data bb)  //按纵坐标由小到大排序
{return aa.y<bb.y;
}
bool cmp2(data aa,data bb)  //按横坐标由小到大排序
{return aa.x<bb.x;
}
int main()
{freopen("48.in","r",stdin);//freopen("48.out","w",stdout);scanf("%d",&N);for(int i=1;i<=N;i++)scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);sort(a+1,a+1+N,cmp1);int ax,ay;ay=a[(N+1)/2].y;memcpy(b,a,sizeof(b));sort(b+1,b+1+N,cmp2);for(int i=1;i<=N;i++)b[i].x=b[i].x-i+1;sort(b+1,b+1+N,cmp2);  //注意这里要再次按横坐标由小到大排序ax=b[(N+1)/2].x;sort(a+1,a+1+N,cmp2);int ans=0;for(int i=1;i<=N;i++){ans+=abs(a[i].x-(ax+i-1))+abs(a[i].y-ay);}printf("%d\n",ans);return 0;
}

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