无穷小量究竟是否为零
注：本文所有的讨论都基于经典微积分，非标准分析不在讨论范围内。
我们都知道，无穷大有特定的数学符号，但无穷小有吗？
其实无穷小也有个写法，而且 和无穷大有关系：
发现了吗？其实无穷小是“0”旋转，而无穷大是0/0(或者说无穷小/无穷小)的简写（在作出这个命名的年代，把0/0作为无穷大看也是正常的，那时候的数学没有现在这么严格）。
既然无穷小和0写法都这么像，它们有什么关系吗？
1 无穷小的历史
1.1 无穷小的由来
无穷小最早指的是比零大，但绝对值小于任意正实数的“数”。即：
若，则为无穷小。
这是很符合我们的直觉的。你看我找到一个绝对值比任意正实数都小的“数”，它就是无穷小。
0在当时是不被当作无穷小看待的。
不过有没有“数”，它的绝对值小于任意正实数？这个问题一直没有得到解答（这里就有一个逻辑上的悖论，如果无穷小是数，那么它绝对值就不小于任意非零实数--因为它不小于自身，除非它是零）。
因此人们给了它一些直观形象的解释，如微不足道，九牛一毛。曾经数学家也用山上的一粒尘埃来解释什么是无穷小。
在这个逻辑下，伟大的数学家莱布尼茨和牛顿都独立发展出了微积分学。
1.2 无穷小的问题
我们知道，“小”是相对于“大”存在的。
当改变参照物时，一些“小”的东西也可以变的很“大”。
如那根毛和牛比，很小，但它和尘埃比也许很大。
而那粒尘埃和山比很小，但在显微镜下，却比许多微生物大。
但我们希望的是绝对的小，这个小不因参照物的改变而改变。因为它要小于任何数。
正是由于无穷小没有严格的定义。所以引发了数学史上的第二次数学危机。
关于第二次数学危机可以参见微分和导数的关系是什么？两者的几何意义有什么不同？为什么要定义微分
1.3 无穷小的精确定义
数学领域容不得沙子，混在这里是行不通的。经过长时间的努力，终于在极限被定义的情况下（极限定义参看请问如何理解极限的精确定义），无穷小的精确定义终于出现了（要理解无穷小，一定要先理解极限）。
在经典的微积分或数学分析中，无穷小量通常它以函数、序列等形式出现，例如：
一个序列 若满足如下性质：，则序列被称为时的无穷小。
PS：满足的是时的无穷小。
2 无穷小家族
无穷小有了精确定义。那它都包含哪些成员呢？
2.1 0和无穷小
首先进入无穷小这个大家庭的是之前被排除在外的0。
还记得这个可怜的家伙吗？一开始莱布尼茨在说大于零小于任意正实数的时候可是没算上它的。但此时，咸鱼翻身了。
0，你可以看成是常数，也可以是常数函数或者常数数列，都符合无穷小的定义，绝对值小于任意正实数。
如果看作常数函数的话，有：
不仅如此，甚至可以是：
也就是说，此函数在定义域范围内处处极限为0，处处都是无穷小。
平反了，平反了，彻底平反了，不止是无穷小！还是处处无穷小！！！
不仅如此，零还是实数内唯一一个无穷小。在实数范围内再也找不到绝对值小于任意正实数的数了。想一想这不仅是千里挑一，万里挑一，是无穷里挑一。零能够作为实数入选无穷小家族，是多么荣幸啊。
0孤零零的站在无穷小的房子，看看四周。心想难道我没有其他伙伴了吗？
2.2 数列和无穷小
实数范围内是没有了，不过无穷数列过来了。
无穷数列可是个大家族。其中有两个重要派系：
一派叫发散派系：。
另一派叫收敛派系，。
而能够入住无穷小的，就是来自收敛派系中，的这一支。
别看它们已经是某一派系里的一小支，但成员仍然十分众多。如（说明一下，为了严格，我们用表示通项为的数列）：
还有：
更有：
它们的数量甚至是无穷多的。
它们在无穷处的极限都为0,即：
它们都住进了无穷小的房子里。
特别强调一下，是数列，所以我们可以说是无穷小，而不能说是无穷小。
2.3 函数和无穷小
不能只有时的无穷小啊，而时的无穷小有没有啊
"有！！"。函数登场。
形如：
，就说，在时的无穷小。
比如:
再如:
等等..等等..
2.4 无穷小家族
OK，如大家所见，无穷小家族的成员至此全部到齐。
它们有唯一的实数0或或。
收敛到0的无穷数列。
极限值为0的函数。
来张合影吧：
3 无穷小为什么不是负无穷？
或许有人会觉得为什么无穷小不是负无穷？我的理解是，比如说物理里面的摩擦力，一般都把摩擦力看成是负的力，只有0才是表示没有力作用的意思，这才符合无穷小的直觉。
4 总结
无穷小不是数，虽然里面有常数0，它是指代一堆“东西”。
无穷小里面包含有：常数0、函数、数列，我们也将全部统称为无穷小量，注意，不是数哦。
比如数列无穷小，有无数多个数列都是无穷小，而不是只有一个，函数也是一个道理。
无穷小和0相关，而非负无穷大。
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