格与布尔代数（笔记）
格：偏序集S中任意两个元素都存在上确界以及下确界
特别的，所有全序都是格，称为平凡格
（S,∨,∧）：由格S诱导的代数运算求上确界(求两个元素最小上界∨)以及下确界（求两个元素最大下界∧ ）形成的系统
格S的子格S’：要求S的子集S’对于∨,∧封闭
对偶格：哈斯图颠倒180度
分配不等式
设 ( L ， S ) 是 一 个 格 ， a , b , c 是 L 中 任 意 元 素 。 于 是 有 : a ∧ ( b ∨ c ) ≤ ( a ∧ b ) ∨ ( a ∧ c ) a ∨ ( b ∧ c ) ≥ ( a ∨ b ) ∧ ( a ∨ c ) 其 中 关 系 “ ≥ ” 是 关 系 “ ≤ ” 的 对 偶 关 系 。 设(L，S)是一个格，a,b,c是L 中任意元素。于是有:\\ a∧(b∨c)\leq(a∧b)∨(a∧c)\\a∨(b∧c)\geq(a∨b)∧(a∨c)\\ 其中关系“\geq” 是关系“\leq”的对偶关系。 设(L，S)是一个格，a,b,c是L中任意元素。于是有:a∧(b∨c)≤(a∧b)∨(a∧c)a∨(b∧c)≥(a∨b)∧(a∨c)其中关系“≥”是关系“≤”的对偶关系。
证 明 : 因 为 a ≤ a ∨ b , a ≤ a ∨ c , 所 以 a ≤ ( a ∨ b ) ∧ ( a ∨ c ) 另 外 ： ( b ∧ c ) ≤ ( a ∨ b ) , ( b ∧ c ) ≤ ( a ∨ c ) , 所 以 ( b ∧ c ) ≤ ( a ∨ b ) ∧ ( a ∨ c ) a ∧ ( b ∨ c ) ≤ ( a ∧ b ) ∨ ( a ∧ c ) 对 偶 地 可 证 得 另 一 不 等 式 。 证明: 因为a\leq a∨b,a\leq a∨c,所以a\leq (a∨b) ∧(a∨c)\\ 另外：(b∧c)\leq (a∨ b),(b∧c)\leq (a∨ c),所以(b∧c)\leq (a∨b) ∧(a∨c)\\ a∧(b∨c)\leq(a∧b)∨(a∧c) 对偶地可证得另一不等式。 证明:因为a≤a∨b,a≤a∨c,所以a≤(a∨b)∧(a∨c)另外：(b∧c)≤(a∨b),(b∧c)≤(a∨c),所以(b∧c)≤(a∨b)∧(a∨c)a∧(b∨c)≤(a∧b)∨(a∧c)对偶地可证得另一不等式。
分配格：
a ∧ ( b ∨ c ) = ( a ∧ b ) ∨ ( a ∧ c ) a ∨ ( b ∧ c ) = ( a ∨ b ) ∧ ( a ∨ c ) a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c)\\a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c) a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c)a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c)
注意:在一般格中，分配律不是总成立的，但分配不等式总是成立的。
格的同态和同构：
定 义 和 一 般 的 同 态 ( 保 持 运 算 结 构 ) 与 同 构 ( 一 一 的 ， 保 持 运 算 结 构 ) 一 样 定义和一般的同态(保持运算结构)与同构(一一的，保持运算结构)一样 定义和一般的同态(保持运算结构)与同构(一一的，保持运算结构)一样
钻 石 格 ： M 5 , 五 角 格 ： N 5 钻石格：M_5,五角格：N_5 钻石格：M5,五角格：N5
百度百科上有证明：比如M5的中间三个记为bcd不满足等式：先求c,d下界再求上界就是b,分别就只能是a了
分配格的判断：格中没有任何子格与两个五元素非分配格之一（钻石格，五角格）同构
(显然：分配格的子格也是分配格)
分配格的性质：a∧b= a∧c 且 a∨b=a∨c，则b=c
有界格：如果一个格存在全上界[记为1]与全下界[记为0]
上下确界一定是集合中的元素和数学分析中的定义不同
一个格不一定是有界格,比如自然数集排序形成的格，有限格一定是有界格
有补格：每个元素都有补元的有界格(一种特殊的有界格)
对 于 某 有 界 格 ， a ∈ A , i f ∃ b ∈ A ， b ≠ a , s . t . a ∨ b = 1 , a ∧ b = 0 , 则 称 a 与 b 互 为 补 元 对于某有界格，a\in A,if \exists b\in A，b\neq a,s.t. a∨b=1,a∧b=0,则称a与b互为补元 对于某有界格，a∈A,if∃b∈A，b=a,s.t.a∨b=1,a∧b=0,则称a与b互为补元
有界分配格的补元唯一
布尔格：有补分配格（ 任 何 元 素 a 一 定 有 唯 一 的 补 元 a ˉ （ 由 此 可 添 加 求 补 运 算 ） 任何元素a一定有唯一的补元\bar a（由此可添加求补运算） 任何元素a一定有唯一的补元aˉ（由此可添加求补运算））
德·摩根定律：
设 ( L , ∧ , ∨ ) 是 个 分 配 格 ， 对 于 任 意 元 素 a 有 余 元 a ˉ , 则 有 ： ( a ∧ b ) ‾ = a ˉ ∨ b ˉ ( a ∨ b ) ‾ = a ˉ ∧ b ˉ 证 明 ： 因 为 ( a ˉ ∨ b ˉ ) ∨ ( a ∧ b ) = ( a ˉ ∨ b ˉ ∨ a ) ∧ ( a ˉ ∨ b ˉ ∨ b ) − − − 分 配 律 = ( 1 ∨ b ˉ ) ∧ ( a ˉ ∨ 1 ) = 1 ∧ 1 = 1 设(L,\wedge,\vee)是个分配格，对于任意元素a有余元\bar a,则有：\\ \overline{(a\wedge b)}=\bar a \vee \bar b\\ \overline{(a\vee b)}=\bar a \wedge \bar b\\ 证明：因为(\bar a\vee \bar b)\vee (a\wedge b)\\ =(\bar a\vee \bar b \vee a)\wedge (\bar a\vee \bar b \vee b)---分配律\\ =(1 \vee \bar b )\wedge (\bar a\vee1)=1 \wedge 1=1\\ 设(L,∧,∨)是个分配格，对于任意元素a有余元aˉ,则有：(a∧b)=aˉ∨bˉ(a∨b)=aˉ∧bˉ证明：因为(aˉ∨bˉ)∨(a∧b)=(aˉ∨bˉ∨a)∧(aˉ∨bˉ∨b)−−−分配律=(1∨bˉ)∧(aˉ∨1)=1∧1=1
布尔代数：
有限布尔代数的结构
原 子 a ： ∀ x ∈ B , x ∧ a = a 或 x ∧ a = 0 （ 也 就 是 哈 斯 图 中 盖 住 0 的 所 有 元 素 ） 原子a：\forall x\in B,x∧a=a或x∧a=0（也就是哈斯图中盖住0的所有元素） 原子a：∀x∈B,x∧a=a或x∧a=0（也就是哈斯图中盖住0的所有元素）
[ S t o n e 定 理 ] : 有 限 布 尔 代 数 < B , ∨ , ∧ , − > , M 是 所 有 原 子 构 成 的 集 合 ， 则 < B , ∨ , ∧ , − > 与 < P ( M ) , ∪ , ∩ , ～ > 同 构 [Stone定理]:有限布尔代数<B,∨,∧,->,M是所有原子构成的集合，则<B,∨,∧,->与<P(M),\cup,\cap,～>同构 [Stone定理]:有限布尔代数<B,∨,∧,−>,M是所有原子构成的集合，则<B,∨,∧,−>与<P(M),∪,∩,～>同构
推论：
1.任何有限布尔代数的元素个数为2^n个
2.两个有限布尔代数同构的充要条件是元素个数相同
相关拓展：布尔函数敏感度猜想
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