基础(待续)-BTT与STT导弹模型

BTT (Bank To Turn)：倾斜转弯
STT (Skid To Turn)：侧滑转弯
攻角：Attack Angle，α\alphaα
侧滑角：Sideslip Angle，β\betaβ

侧滑转弯机动（STT）

侧滑转弯是指在纵平面内通过操控升降舵改变攻角α\alphaα，在侧平面内通过操控方向舵改变弹体的侧滑角β\betaβ，或者直接控制俯仰姿态产生所需的攻角，控制偏航姿态产生所需的侧滑角，从而产生所需的法向力和侧向力。

优点：响应快，控制和操纵简单。
缺点：弹翼和尾翼的气动效能利用率低，存在结构死重，升阻比高，不适合吸气式冲压发动机导弹。

侧滑转弯机动的必要条件是导弹必须轴对称，且飞行过程中需要滚转角和滚转角速率保持为零。

倾斜转弯机动（BTT）

倾斜转弯适合面对称的飞行器，如飞机或巡航导弹。

先使飞行器产生一个攻角α\alphaα，然后再绕自身纵轴滚转或倾斜一个角度γ\gammaγ，弹翼产生的主升力也相应滚动或倾斜同一个角度γ\gammaγ，通过正交分解就得到了侧平面内的升力，即法向力，从而实现侧滑转弯。

优点：只有一对弹翼，减少了结构死重，优化了气动效能，提高了升阻比。
缺点：侧滑角过大可能会使进气道堵塞，无法吸入空气，所以一般理论上要求侧滑角β=0\beta = 0β=0。

导弹运动方程

图1：导弹受力示意图图2：导弹运动几何

导弹纵向平面内的运动方程：
{mdvdt=Fcos⁡α−D−mgsin⁡θmvθ˙=Fsin⁡α+L−mgcos⁡θ(1)\left\{ \begin{aligned} m \frac{\text{d} v}{\text{d} t} &= F \cos \alpha - D - mg \sin \theta \\ mv \dot{\theta} &= F \sin \alpha + L - mg \cos \theta \end{aligned} \right. \tag{1} ⎩⎨⎧mdtdvmvθ˙=Fcosα−D−mgsinθ=Fsinα+L−mgcosθ(1)

式中，α\alphaα为导弹攻角，FFF为推力，升力和阻力分别为：
{L=12ρv2⋅CLαα⋅SD=12ρv2⋅CD⋅S(2)\left\{ \begin{aligned} L &= \frac{1}{2} \rho v^2 \cdot C_L^{\alpha} \alpha \cdot S \\ D &= \frac{1}{2} \rho v^2 \cdot C_D \cdot S \end{aligned} \right. \tag{2} ⎩⎪⎨⎪⎧LD=21ρv2⋅CLαα⋅S=21ρv2⋅CD⋅S(2)

定义q=12ρv2q = \frac{1}{2} \rho v^2q=21ρv2为动压头。

注释：方程(1)(1)(1)和(2)(2)(2)是最简单的导弹动力学方程，一般文献中经常使用这个模型。

法向过载、机动性能

定义法向过载nyn_yny为导弹除了重力以外的法向加速度aya_yay与导弹重力加速度之比，即：
ny=ayg(3)n_y = \frac{a_y}{g} \tag{3} ny=gay(3)

单位舵偏角δ\deltaδ产生的法向过载为导弹操纵性的度量指标之一，即ny/δn_y/ \deltany/δ。

将法向加速度aya_yay的表达式代入上式，可得：
ny=Vθ˙g+cos⁡θ=L+Fsin⁡αmg≈L+F⋅αmg=CLαqS⋅α+F⋅αmgn_y = \frac{V \dot{\theta}}{g} + \cos \theta = \frac{L + F \sin \alpha}{mg} \approx \frac{L + F \cdot \alpha}{mg} = \frac{C_L^{\alpha} q S \cdot \alpha + F \cdot \alpha}{mg} ny=gVθ˙+cosθ=mgL+Fsinα≈mgL+F⋅α=mgCLαqS⋅α+F⋅α

则：
ny/δ=CLαqS⋅α+F⋅αmg⋅δ=(CLαqS+F)⋅αmg⋅δn_y/ \delta = \frac{C_L^{\alpha} q S \cdot \alpha + F \cdot \alpha}{mg \cdot \delta} = \frac{(C_L^{\alpha} q S + F) \cdot \alpha}{mg \cdot \delta} ny/δ=mg⋅δCLαqS⋅α+F⋅α=mg⋅δ(CLαqS+F)⋅α

假设空气舵操纵产生攻角的变化过程是瞬时完成的，即忽略攻角的动态变化过程，瞬间到达稳态，称为瞬时平衡假设，此时弹体上的操纵力矩等于气动力矩，即：
mzα⋅α+mzδ⋅δ=0⇒αδ=−mzδmzαm_z^{\alpha} \cdot \alpha + m_z^{\delta} \cdot \delta = 0 \Rightarrow \frac{\alpha}{\delta} = - \frac{m_z^{\delta}}{m_z^{\alpha}} mzα⋅α+mzδ⋅δ=0⇒δα=−mzαmzδ

对于静稳定弹：
mzα=−CLα(xp−xc)/lm_z^{\alpha} = - C_L^{\alpha} (x_p - x_c)/l mzα=−CLα(xp−xc)/l

那么由以上公式，可以知道导弹机动性与哪些因素有关呢？

几个容易出错的点

1、弹道坐标系和速度坐标系

弹道坐标系和速度坐标系的x轴均是沿速度矢量V\boldsymbol{V}V方向，但弹道坐标系的y轴在铅锤平面内垂直于V\boldsymbol{V}V，向上为正，速度坐标系的y轴位于弹体纵向对称面内垂直于V\boldsymbol{V}V。

弹道坐标系用弹道倾角θ\thetaθ和弹道偏角σ\sigmaσ表示与地面参考坐标系（一般是地惯系或发惯系）的关系。
速度坐标系用攻角α\alphaα和侧滑角β\betaβ表示与弹体坐标系的关系，方便描述阻力D\boldsymbol{D}D、升力L\boldsymbol{L}L。

参考文献

刘新建. 导弹总体设计概论[M]. 国防工业出版社, 2017.