密码学系列 - 椭圆曲线签名的基本原理

ECDSA 涉及到三个重要的概念

第一个是私钥，私钥是一个只有我自己知道的数字，我可以用私钥去生成签名，比特币使用的私钥是一个256 bit 的整数。

第二个是公钥，公钥是跟私钥配对的一个数，是根据私钥运算得出的，我会把公钥公布给所有人，目的是让大家去验证我的签名。比特币的公钥有65个字节，包括一个前缀加上两个256 bit 的整数，这两个整数就对应椭圆曲线上的一个点的 x 值和 y 值。

第三个是签名，签名就是一个证明我的确执行了签署操作的数字。签名主要由两项内容运算得出，一项是被签署数据的哈希，另外一项就是私钥。签名要保证两点：一个是证明我是私钥的持有者，第二个是证明被签名数据没有被篡改过。

如何证明你知道私钥 x

如果您计算 X=x•P，其中 x 是一个随机的 256 位整数，您如何向某人证明您知道与 X 对应的 x，而不泄露有关 x 的任何有用信息？

您可以使用之前的点加法属性：

n•P+r•P = (n+r)•P

稍微修改一下：

hash(m, r•P)•n•P+r•P = (hash(m, r•P)*n+r)•P

如果你展开上面方程的右边，你会得到左边，所以上面的方程对任何 m、r 和 n 都成立。

故另n=x, 则n•P=X

hash(m, r•P)•X+r•P = (hash(m, r•P)*x+r)•P

再另 R=r•P 和 s=hash(m,R)*x+r, 所以现在有：

hash(m, R)•X+R = s•P

好的，这里的说法是：如果您可以提供满足上述等式的 m、R 和 s，那么这证明您知道等式中 X 对应的 x，其中 x•P=X。

因此，为 m、R 和 s 提供工作值的唯一方法是使用 x 计算它们。因此，您可以通过提供满足 hash(m,R)•X+R=s•P 的 m、R 和 s 的值来证明您知道与公钥 X 对应的私钥 x。

数字签名的构成

由前面的推导，可以看出只要我展示出了 m、R 和 s 的值，就可以证明我是拥有私钥的。实际中我们可以把 m 作为要被签名的信息，而把 R 和 s 作为数字签名。 对于比特币来说，信息 m 就是交易，每一个数字签名之中都会包含 R 的 x 坐标值( R 是椭圆曲线上的一个点)，还会包含 s (s 是一个256 bit 的整数)。

如果在验证数字签名的时候信息被篡改过了，也就是说此刻 m 有了一个被篡改后的值，那么这个等式就不可能成立了，因为 s 是基于 m 的原始值运算出来的。

签名验证算法-verify

已知 P(椭圆曲线基点), m, R, s, X, 验证 hash(m, R)•X+R = s•P 等式是否成立

公钥恢复算法-recover

已知 P(椭圆曲线基点), m, R, s, 通过 hash(m, R)•X+R = s•P 方程式求出 X, 与正确的公钥进行比较

往期精彩回顾:: 区块链知识系列; 密码学系列; 零知识证明系列; 共识系列; 公链调研系列; 比特币系列; 以太坊系列; EOS系列; Filecoin系列; 联盟链系列; Fabric系列; 智能合约系列; Token系列