算法基础

给定数 p p p和数 G G G，考虑同余式
p x ≡ 1 m o d G px\equiv 1\text{ }\bmod G px≡1 modG
当 gcd ⁡ ( p , G ) ∣ 1 \left. \gcd \left( p,G \right) \right|1 gcd(p,G)∣1即 gcd ⁡ ( p , G ) = 1 \gcd \left( p,G \right)=1 gcd(p,G)=1时同余式有解，记该解为
x ≡ q m o d G x\equiv q\text{ }\bmod G x≡q modG
∀ a ∈ Z \forall a\in \mathbb{Z} ∀a∈Z，记 p a m o d G = b pa\text{ }\bmod G=b pa modG=b，即有
p a ≡ b m o d G pa\equiv b\text{ }\bmod G pa≡b modG
则有
q b ≡ q ( p a ) = ( p q ) a ≡ a m o d G qb\equiv q\left( pa \right)=\left( pq \right)a\equiv a\text{ }\bmod G qb≡q(pa)=(pq)a≡a modG

模灰度级加密算法

给定一幅尺寸为 M × N M\times N M×N（单位：像素）的图像 I I I，确定其灰度级数 G G G（通常是 2 2 2的 n n n次幂，例如 2 2 2的 8 8 8次幂，即256）。

密钥： p ∈ Z p \in \mathbb{Z} p∈Z，满足 gcd ⁡ ( p , G ) = 1 \gcd \left( p,G \right)=1 gcd(p,G)=1

解钥： q ∈ Z q \in \mathbb{Z} q∈Z，通过解 p q ≡ 1 m o d G pq\equiv 1\text{ }\bmod G pq≡1 modG求出。

加密过程

将明文 I I I加密为密文 I 1 {{I}_{1}} I1， I 1 {{I}_{1}} I1也是一个尺寸为 M × N M\times N M×N，灰度级为 G G G的图像，且每个像素处的灰度值 I 1 ( i , j ) {{I}_{1}}\left( i,j \right) I1(i,j)为
I 1 ( i , j ) = I ( i , j ) × p m o d G , i = 0 , 1 , ⋯ , M − 1 , j = 0 , 1 , ⋯ , N − 1 {{I}_{1}}\left( i,j \right)=I\left( i,j \right)\times p\text{ }\bmod G,\text{ }i=0,1,\cdots ,M-1,\text{ }j=0,1,\cdots ,N-1 I1(i,j)=I(i,j)×p modG, i=0,1,⋯,M−1, j=0,1,⋯,N−1
解密密文 I 1 {{I}_{1}} I1得到明文 I I I，每个像素处的灰度值 I ( i , j ) I\left( i,j \right) I(i,j)为
I ( i , j ) = I 1 ( i , j ) × q m o d G , i = 0 , 1 , ⋯ , M − 1 , j = 0 , 1 , ⋯ , N − 1 I\left( i,j \right)={{I}_{1}}\left( i,j \right)\times q\text{ }\bmod G,\text{ }i=0,1,\cdots ,M-1,\text{ }j=0,1,\cdots ,N-1 I(i,j)=I1(i,j)×q modG, i=0,1,⋯,M−1, j=0,1,⋯,N−1

由上面的步骤可知，这是一种在图像空间域上的加密，是一种仅改变像素灰度值的加密，解密图像与原图没有差异。由于密钥和解钥一般不相等，因此也是一种公钥加密。

Matlab代码（以灰度级为 2 8 = 256 {{2}^{8}}=256 28=256的图像为例）

I = imread('待读入的图像路径+名称');  % 读入图像
G = 256;  % 确定灰度级，默认图像是8位的，即灰度级是2^8=256
p = 5;  % 确定密钥% 检验密钥p与灰度级G的最大公因数是否为1
if gcd(p, G) ~= 1error('密钥p与灰度级G的最大公因数不是1，不存在解钥');
end% 展示原图像
figure, imshow(I);% 将图像I进行加密得到密文I1, 并可视化
I1 = mod( double(I) * p, G );
figure, imshow( uint8(I1) );% 利用简单的循环迭代找出解钥q
% 因为gcd(p, 256) = 1, 因此p一定是奇数。
% 又由于pq mod256 = 1, 因此q也一定是奇数。
q = 1;
while mod( p*q, G ) ~= 1q = q + 2;
end% 将密文I1解密得到I2, 并可视化
I2 = mod( I1 * q, G );
figure, imshow( uint8(I2) );% 比较原图像I 与 解密得到的I2 是否一致（即该算法是否有损）
% 使用isequal(), 该函数返回真值当且仅当两个矩阵相同索引处的值均相等
if isequal( double(I), I2 )disp('解密得到的图像与原图像一致');
elsedisp('解密得到的图像与原图像不一致');
end

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